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Espci 2004 premiere composition de mathematiques classe prepa pc premiere composition de mathematiques 2004 classe prepa pc

4 pages
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUEETDECHIMIEINDUSTRIELLESCONCOURSD’ADMISSION2004 FILIÈREPCCOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.PolynômesunitairesdenormeminimalePour tout entier d 0, on désigne par E l’espace vectoriel complexe des polynômesdà coefficients complexes de degré d et par U le sous-ensemble des polynômes unitairesddedegré d.Premièrepartie∗Soit n∈ N etsoient x ,...,x desnombrescomplexesdistincts.Onconsidèrelepolynôme1 nP(X)= (X− x ) ,k1knetl’ondésignepar P lepolynômedérivéde P.1.Pourtoutentier j, 1 j n,onposeP(X)P (X)= ·j(X− x )P (x )j ja)Montrerquecetteexpressiondéfinitunpolynôme P dedegré n− 1.jb)Calculer P (x ),pour1 k n,etmontrerque,pourtoutpolynôme F,lepolynômej knL = F(x )P prendlamêmevaleurque Fentouslespoints x ,...,x.F j j 1 nj=1nc)Montrerque P =1.jj=1d)Lespolynômes P, 1 j n,forment-ilsunebasede E ?j n−11n−1i2.Pour 1 j n,onposeP (X)= b X,oùb ∈ C.SoientV et Blesmatricesj i,j i,ji=0e ecomplexes n× ndontlesélémentsàla i ligne(1 i n)etàlaj colonne(1 j n)sontj−1(x ) et b ,respectivement.Montrerque V estinversible,etque V et Bsontinversesl’unei i−1,jdel’autre.n j1 (x )k3.a)Montrerque b = .Déterminerlavaleurde pour 0 j n− 1.n−1,j P (x ) P (x )j kk=1n n−1 (X− x )kb)Endéduireque estunpolynômeconstantquel’oncalculera.P (x )kk=1∗Danstoutelasuiteduproblème, d ∈ N estunentierfixé,et ...
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2004
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
FILIÈREPC
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   
Polynômes unitaires de norme minimale
Pour tout entierd0, on désigne parEdl’espace vectoriel complexe des polynômes à coefficients complexes de degrédet parUdle sous-ensemble des polynômes unitaires de degréd.
Première partie
SoitnNet soientx1, x, . . .ndes nombres complexes distincts. On considère le polynôme P(X) =(Xxk), 1kn
et l’on désigne parPle polynôme dérivé deP.
1.Pour tout entierj,1jn, on pose P(X) Pj(X) =(Xxj)P(xj) a)Montrer que cette expression définit un polynômePjde degrén1.
b)CalculerPj(xk), pour1kn, et montrer que, pour tout polynômeF, le polynôme n LF=F(xj)Pjprend la même valeur queFen tous les pointsx1, x, . . .n. j=1
n c)Montrer quePj= 1. j=1
d)Les polynômesPj,1jn, forment-ils une base deEn1?
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