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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2004
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
FILIÈREPC
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   
Polynômes unitaires de norme minimale
Pour tout entierd0, on désigne parEdl’espace vectoriel complexe des polynômes à coefficients complexes de degrédet parUdle sous-ensemble des polynômes unitaires de degréd.
Première partie
SoitnNet soientx1, x, . . .ndes nombres complexes distincts. On considère le polynôme P(X) =(Xxk), 1kn
et l’on désigne parPle polynôme dérivé deP.
1.Pour tout entierj,1jn, on pose P(X) Pj(X) =(Xxj)P(xj) a)Montrer que cette expression définit un polynômePjde degrén1.
b)CalculerPj(xk), pour1kn, et montrer que, pour tout polynômeF, le polynôme n LF=F(xj)Pjprend la même valeur queFen tous les pointsx1, x, . . .n. j=1
n c)Montrer quePj= 1. j=1
d)Les polynômesPj,1jn, forment-ils une base deEn1?
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