Espci 2004 premiere composition de mathematiques classe prepa pc premiere composition de mathematiques 2004 classe prepa pc

ÉCOLEPOLYTECHNIQUEÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUEETDECHIMIEINDUSTRIELLESCONCOURSD’ADMISSION2004 FILIÈREPCCOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.PolynômesunitairesdenormeminimalePour tout entier d 0, on désigne par E l’espace vectoriel complexe des polynômesdà coefficients complexes de degré d et par U le sous-ensemble des polynômes unitairesddedegré d.Premièrepartie∗Soit n∈ N etsoient x ,...,x desnombrescomplexesdistincts.Onconsidèrelepolynôme1 nP(X)= (X− x ) ,k1knetl’ondésignepar P lepolynômedérivéde P.1.Pourtoutentier j, 1 j n,onposeP(X)P (X)= ·j(X− x )P (x )j ja)Montrerquecetteexpressiondéfinitunpolynôme P dedegré n− 1.jb)Calculer P (x ),pour1 k n,etmontrerque,pourtoutpolynôme F,lepolynômej knL = F(x )P prendlamêmevaleurque Fentouslespoints x ,...,x.F j j 1 nj=1nc)Montrerque P =1.jj=1d)Lespolynômes P, 1 j n,forment-ilsunebasede E ?j n−11n−1i2.Pour 1 j n,onposeP (X)= b X,oùb ∈ C.SoientV et Blesmatricesj i,j i,ji=0e ecomplexes n× ndontlesélémentsàla i ligne(1 i n)etàlaj colonne(1 j n)sontj−1(x ) et b ,respectivement.Montrerque V estinversible,etque V et Bsontinversesl’unei i−1,jdel’autre.n j1 (x )k3.a)Montrerque b = .Déterminerlavaleurde pour 0 j n− 1.n−1,j P (x ) P (x )j kk=1n n−1 (X− x )kb)Endéduireque estunpolynômeconstantquel’oncalculera.P (x )kk=1∗Danstoutelasuiteduproblème, d ∈ N estunentierfixé,et ...