ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption ØconomiqueMATHEMATIQUES IIAnnØe 2001La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sacopie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre .Le but du problŁme est l’Øtude du coe¢ cient de corrØlation linØaire de deux variables alØatoires qu on aborded abord de fa on gØnØrale ( partie I), puis dans un cas particulier (partie II).PARTIE IOnconsidŁredeuxvariablesalØatoiresX etY dØ…niessurunmŒmeespaceprobabilisØetadmettantdesespØrancesE(X) et E(Y) et des variances V(X) et V(Y) et on suppose V(X)> 0 (on rappelle que V(X) = 0 si et seulementsi, avec une probabilitØ Øgale à 1, X est constante). La covariance des deux variables alØatoires X et Y (quecelles-ci soient discrŁtes ou à densitØ) est alors le nombre rØel dØ ni par :Cov(X;Y) =E[(X E(X))(Y E(Y))]; ou encore E(XY) E(X)E(Y):1. Covariance des variables alØatoires X et Y(a) Exprimer Cov( X +Y; X +Y) en ...
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Le but du problème est létude du coe¢ cient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires quon aborde dabord de façon générale (partie I), puis dans un cas particulier (partie II).
PARTIE I On considère deux variables aléatoiresXetYdénies sur un même espace probabilisé et admettant des espérances E(X)etE(Y)et des variancesV(X)etV(Y)et on supposeV(X)>0(on rappelle queV(X) = 0si et seulement si, avec une probabilité égale à1,Xest constante).La covariance des deux variables aléatoiresXetY(que celles-ci soient discrètes ou à densité) est alors le nombre réel déni par :