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FESIC 2005 concours commun post bac s

6 pages
ConcoursFesicmai2005Calculatrice interdite; traiter 12 exercicessur les 16 en2h 30; répondreparVraiouFauxsansjustification.+1sibonneréponse,−1simauvaiseréponse,0sipasderéponse,bonusd’unpointpourunexerciceentièrementjuste.EXERCICE1 →− →−Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormal O, u , v .Onconsidère 2zlafonction f qui,àtoutcomplexe z nonnul,associelecomplexe: z = f(z)= .|z|Soient z ∈C−{0}et z = f(z).Onappelle M lepointdecoordonnées(x ; y)d’affixez et M lepointdecoordonnées(x ; y)d’affixez .2 2x −y 2xy a. Ona x = et y = .2 2 2 2x +y x +yb. z ∈Rsietseulement si M appartientàl’axedesordonnées. 8c. f(1+i) estunnombreréel.d. Ilexisteunetunseulpoint M telque M et M soientconfondus.EXERCICE2 →− →−Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormal O, u , v .∗Soit m ∈R . On considèreles points A,J, Ket Md’affixes respectives z =1+i, z =A Ji, z =2+ietz =1+im.SoitN lesymétriquede M parrapportàA.K Ma. Lepoint Napouraffixe1+i(2−m).−→∗b. Quel que soit m∈R ,Kestl’imagedeN parlatranslationdevecteurJM .c. IlexisteunevaleurdemetuneseuletellequeKsoitl’imagedeJparlarotationπdecentre M etd’angle .2d. Soit m=2.Pourprouverquelesdroites(OA)et(MK)sontperpendiculaires,ilfautetilsuffitdeprouverque z (z −z )=0.A K MEXERCICE32π 1−iOnappelle z lecomplexedemodule2etd’argument etonpose t = .3 2na. Soit n∈Z. t estunnombreréelsietseulement si nestunmultiplede4.2π zb. estunargumentde .312 t10 9c. Lapartieréellede z est−2 .2 8d. 1+t+t +···+t =1 ...
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Concours Fesic mai 2005
Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. + 1 si bonne réponse,1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.
EXERCICE1   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormalO,u,v. On considère   2 z la fonctionfqui, à tout complexeznon nul, associe le complexe :z=f(z)=. |z| SoientzC{0} etz=f(z). On appelleMle point de coordonnées (x;y) d’affixez    etMle point de coordonnées (x;y) d’affixez. 2 2 xy2x y   a. Onax=ety=. 2 22 2 x+y x+y b.zRsi et seulement siMappartient à l’axe des ordonnées.   8 c.f(1+un nombre réel.i) est d. Ilexiste un et un seul pointMtel queMetMsoient confondus.
EXERCICE2   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormalO,u,v. SoitmR. On considère les points A, J, K et M d’affixes respectiveszA=1+i,zJ= i,zK=2+i etzM=1+im. SoitNle symétrique deMpar rapport à A.
a. LepointNa pour affixe 1+i(2m). b. Quelque soitmR, K est l’image deNpar la translation de vecteur JM. c. Ilexiste une valeur demet une seule telle que K soit l’image de J par la rotation π de centreMet d’angle. 2 d. Soitm=2. Pour prouver que les droites (OA) et (MK) sont perpendiculaires, il faut et il suffit de prouver quezA(zKzM)=0.
EXERCICE3 2π1i On appellezet on posele complexe de module 2 et d’argumentt=. 3 2 n a. SoitnZ.test un nombre réel si et seulement sinest un multiple de 4. 2 πz b. estun argument de. 3 12 t 10 9 c. Lapartie réelle dezest2 . 2 8 d. 1+t+t+ ∙ ∙ ∙ +t=1.
EXERCICE4 On considère la courbe (C) cidessous, la droiteΔ:x=2 et l’axe des abscisses étant asymptotes à (C). On appellefla fonction représentée par (C) etgla fonction définie parg(x)=ln[f(x)].
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