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La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Ce problème se compose de cinq parties :il étudie deux suites de variables aléatoires discrètes et une simulation informatique. Sile candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite ,admettre ce résultat. Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul. On considère une urneUncontenantnboules numérotées de1àntire une boule au hasard dans. OnUn. On notekle numéro de cette boule.Sikest égal à1Si, on arrête les tirages.kest supérieur ou égal à2, on enlève de lurneUnles boules numérotées dekàn(il reste donc les boules numérotées de1àk1), et on e¤ectue à nouveau un tirage dans lurne.On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro1note. OnXnla variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour lobtention de la boule numéro1note. OnYnla variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées.On noteE(Xn)etV(Xn)(respectivementE(Yn)et V(Yn)) lespérance et la variance deXn(respectivementYn).
Partie 1. n P1 11 1. Onpose :hn= =1 ++:::::+ k2n k=1 (a) Montrer,pour tout entier naturelknon nul, les inégalités : 1 1 6ln(k+ 1)lnk6 k+ 1k lndésigne le logarithme népérien. (b) Endéduire les inégalités :ln(n+ 1)6hn61 + lnn
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