HEC 2000 mathematiques i classe prepa hec (s)

Description

6HEC 2000. MATHEMATIQUES I, option scientifique.pCe probl`eme a pour objet l’´etude des points en lesquels une application lin´eaire de R dans Ratteint son maximum sur l’ensemble des solutions d’un syst`eme d’in´equations lin´eaires.pPour tout entier p strictement positif, on identifieraR etM (R).p,1Partie I : Pr´eliminairesOn dit qu’une partie K non vide deR est major´ee lorsqu’il existe un r´eel M tel que∀x∈K, x≤MUn r´eel M v´erifiant ces in´egalit´es s’appelle un majorant de K ; on dit aussi que M majore K.Dans ce qui suit on suppose que K est une partie non vide et major´ee deR. Soit M un majorantde K et a un ´el´ement de K. On d´efinit les suites (u ) et (v ) parn n∈N n n∈N u +v u +vn n n nn  ,v si ne majore pas Knu =a0 2 2et ∀n∈N, (u ,v ) =n+1 n+1 u +vv =M n n0  u , sinonn21) On suppose, dans cette question seulement, que K = [0,1[∪[3,4[, a = 0 et que M = 10.D´eterminer (u ,v ) pour tout entier n appartenant a`{1,2,3,4}.n n2) On revient d´esormais au cas g´en´eral.a) Montrer que :∀n∈N, u ≤v .n nb)Montrer que les deux suites (u ) et (v ) sont adjacentes et convergent vers un r´eelb.n n∈N n n∈Nc) Montrer que pour tout entier positif n, v est un majorant de K, puis que b majore K.nd)Montrer qu’il existe une suite d’´el´ements de K qui converge vers b.0e) On suppose que b est un majorant de K.0• Montrer que b ≥b.• En d´eduire que b ne d´epend pas des choix initiaux de a et M pourvu que a appartienne `aK et que M majore K.D´esormais, on notera ...

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Extrait

HEC 2000. MATHEMATIQUES I, option scientifique.

p Ceproble`meapourobjetl’´etudedespointsenlesquelsuneapplicationline´airedeRdansR atteintsonmaximumsurl’ensembledessolutionsd’unsyste`med’in´equationslin´eaires. p Pour tout entierpstrictement positif, on identifieraRetM p,1 (R).

PartieI:Pre´liminaires On dit qu’une partieKnon vide deRlee´rn’iqursloeustxileetsamoj´reeMtel que

∀x∈K, x≤M Unr´eelMdejomantraleppnuele´tia’sstnecirafigelais´nv´eK; on dit aussi queMmajoreK. Dans ce qui suit on suppose queKeeidnvnoiertpaneutsedeeroe´mtjaR. SoitMun majorant deKeta´el´untdeemenKs(tee´nfiO.dnssiutielu n ) n∈N et (v n ) n∈N par    u n +v n u n +v n  n , v n majore passi neK u 0 =a 2 2 et∀n∈N,(u n+1 , v n+1 ) =   u n +v n v 0 =M  u n ,sinon 2 1)On suppose, dans cette question seulement, queK= [0,1[∪[3,4[, a= 0 et queM= 10. De´terminer(u n , v n ) pour tout entiernpatrapanenat`{1,2,3,4}. 2).eraluasiamro´ne´gsacevnrOesd´ntie a)Montrer que :∀n∈N, u n ≤v n . b)Montrer que les deux suites (u n ) n∈N et (v n ) n∈N tnseteocvnreegtnsontadjacelee´rnusrevb. c)Montrer que pour tout entier positifn,v n est un majorant deK, puis quebmajoreK. d)ntsde’´el´emeenustideelixtsueertr’iquonMKqui converge versb. 0 e)On suppose quebest un majorant deK. 0 •Montrer queb≥b. •ueireq´eduEndbenxdautinixioisehcapdsepdndee´aetMpourvu queairtanpepeana` Ket queMmajoreK. D´esormais,onnoteraα K le majorantbdeKainsi obtenu.

´ Partie II : Etude d’un exemple p 2 2 2 On munitRiefinrparonasedidcleume´eednnie||(x, y)||=x+ypour tout (x, y) appartenant 2 `aR. 1)sleer´esbromsnoitrreocsndie`nOa, b, c, tels que (a, b)6= (0,sioreltsolsrinat´dfie).On0 ensembles :   2 D= (x, y)∈R;ax+by+c= 0   2 2 R + = (x, y)∈R;ax+by+c >0 etR − = (x, y)∈R;ax+by+c <0 2 a)Montrer queR + est une partie ouverte deR.