HEC 2000 mathematiques i classe prepa hec (s)

6HEC 2000. MATHEMATIQUES I, option scientifique.pCe probl`eme a pour objet l’´etude des points en lesquels une application lin´eaire de R dans Ratteint son maximum sur l’ensemble des solutions d’un syst`eme d’in´equations lin´eaires.pPour tout entier p strictement positif, on identifieraR etM (R).p,1Partie I : Pr´eliminairesOn dit qu’une partie K non vide deR est major´ee lorsqu’il existe un r´eel M tel que∀x∈K, x≤MUn r´eel M v´erifiant ces in´egalit´es s’appelle un majorant de K ; on dit aussi que M majore K.Dans ce qui suit on suppose que K est une partie non vide et major´ee deR. Soit M un majorantde K et a un ´el´ement de K. On d´efinit les suites (u ) et (v ) parn n∈N n n∈N u +v u +vn n n nn  ,v si ne majore pas Knu =a0 2 2et ∀n∈N, (u ,v ) =n+1 n+1 u +vv =M n n0  u , sinonn21) On suppose, dans cette question seulement, que K = [0,1[∪[3,4[, a = 0 et que M = 10.D´eterminer (u ,v ) pour tout entier n appartenant a`{1,2,3,4}.n n2) On revient d´esormais au cas g´en´eral.a) Montrer que :∀n∈N, u ≤v .n nb)Montrer que les deux suites (u ) et (v ) sont adjacentes et convergent vers un r´eelb.n n∈N n n∈Nc) Montrer que pour tout entier positif n, v est un majorant de K, puis que b majore K.nd)Montrer qu’il existe une suite d’´el´ements de K qui converge vers b.0e) On suppose que b est un majorant de K.0• Montrer que b ≥b.• En d´eduire que b ne d´epend pas des choix initiaux de a et M pourvu que a appartienne `aK et que M majore K.D´esormais, on notera ...