HEC 2002 mathematiques i classe prepa hec (s)

Description

HEC 2002. Math 1, option scientifique.Le sujet ci-dessous vise a` faire comprendre comment deux concurrents aux int´erˆets antagonistes,ne parvenant pas a` fixer conjointement les strat´egies de l’un et l’autre, conviennent de les tirerau sort avec des probabilit´es bien d´etermin´ees.Notations :Dans tout le probl`eme n et p d´esignent des entiers naturels non nuls fix´es et on pose :E =M (R); on d´efinit de mˆeme E .n n,1 p   x1 n X. .On noteK l’ensemble X = ∈E ,x ≥ 0,...,x ≥ 0, x = 1 ; on d´efinit de mˆemen n 1 n i. i=1xnK .pLes espaces E et E , sont munis de leur structure euclidienne canonique; la norme euclidiennen pd’un vecteur X de E est not´ee ||X||; le produit scalaire de deux vecteurs X et Y de E est not´en nhX,Yi; on adopte la mˆeme notation pour les vecteurs de E .pEnfin, si k est un entier naturel non nul et, si (z ) est une famille finie de r´eels, on notei 1≤i<≤kmax z ou maxz (respectivement min z ou minz ) son plus grand (respectivement son plusi i i i1≤i≤n i 1≤i≤n ipetit) ´el´ement.Plus g´en´eralement, si f est une fonction d´efinie sur un ensemble A, `a valeurs dansR, admettantun maximum (respectivement un minimum) sur A, on note maxf(x), (respectivement minf(x)x∈A x∈Ace maximum, (respectivement ce minimum).Partie I : Le plus petit des plus grands et le plus grand des plus petitsSoit A = (a )1≤i≤n une matrice appartenant a M (R)i,j n,p1≤j≤pOn note u(A) = min ( max a ) et v(A) = max ( min a ). Pour simplifier les notations, ...

Informations

• Publié par: aiolos
• Nombre de lectures: 248
• Langue: Français

Extrait

HEC 2002. Math 1, option scientifique.

Lesujetci-dessousvisea`fairecomprendrecommentdeuxconcurrentsauxinte´rˆetsantagonistes, neparvenantpas`afixerconjointementlesstrate´giesdel’unetl’autre,conviennentdelestirer ausortavecdesprobabilite´sbiende´termin´ees. Notations : Danstoutleproble`menetpse´dengisepoonet:erslonnnlufis´xsentdesentiersnatu E n =M n,1 (R)´dno;medtinfieˆemeE p .    x 1 n   X   On noteK n l’ensembleX=∈E n , x 1 ≥0, . . . , x n ≥0, x i = 1tdemˆemeno´dfiein; .   i=1 x n K p . Les espacesE n etE p ; la norme euclidienne, sont munis de leur structure euclidienne canonique d’un vecteurXdeE n eet´tsone||X||; le produit scalaire de deux vecteursXetYdeE n etson´te hX, Yidonaelptˆeamnomeitatopnoelrucevsdseetruo;E p . Enfin, sikest un entier naturel non nul et, si(z i ) 1≤i<≤k efunsteeied´reemalielnfiels,onnot maxz i oumaxz i (respectivementminz i ouminz i ) son plus grand (respectivement son plus 1≤i≤ n i 1≤i≤ n i petit)´ele´ment. Plusg´en´eralement,sifsnmelbeiond´efiniesurunetsefenutcnoA`,valauesnadsrR, admettant un maximum (respectivement un minimum) surA, on notemaxf(x), (respectivementminf(x) x∈Ax∈A ce maximum, (respectivement ce minimum).

Partie I :Le plus petit des plus grands et le plus grand des plus petits SoitA= (a i,j matrice appartenant a) uneM n,p (R) 1≤i≤n 1≤j≤p On noteu(Amin ( max) =a i,j ) etv(Amax ( min) =a i,j ). Pour simplifier les notations, on 1≤i≤n1≤j≤p1≤j≤p1≤i≤n pourra´ecrirecesexpressions:u(Amax) = mina i,j etv(A) = maxmina i,j . i jj i     –1 6–2 –2 3   1)Calculeru(A) etv(A) dans les deux cas suivants :A= ;A1 0 .= 0 1 –1 –2 3–1 2)vernOula`on´ersg´eaucaientA∈ M n,p (R). Pour toutj 0 ∈ {1, . . . , p}et touti 0 ∈ {1, . . . , n}, on poses= minaett= maxa. j 0 i,j 0 i 0 i 0 ,j i j a)Montrer ques≤tpour toutj∈ {1, . . . , p}et touti∈ {1, . . . , n}. j 0 i 0 0 0 b)ireq´eduEndeuv(A)≤u(A). 3)niefiecritenTogramme´acolan´druobP-salensdaueeqosppsurpnu’delubmae´rpnO 1)deuxconstantesentie`res:netp, 2) un type :;matrice = array[l..n,l..p] of real ´ a)Ecrire le corps de la fonction; i : integer) : real;function Maxligne (A :matrice cettefonctiondoitretournerleplusgrande´le´mentdelaligneide la matriceA`--ae’tsredci, la valeur maxA[i, j]. j ´ b)Ecrire le corps de la fonctionfunction MinMax(A :matrice) :real;cette fonction doit retourner la valeuru(A)finie,d´eointiauseliafrlctonsulptuahpno;rruoMax ligne.

Partie II :Le minimum des maxima et le maximum des minima   –2 3 1)ectairDnaonsi.Oncelamd`erute´ueidexenelpmetscqutetiesononAet pour= , 1 –1    x y 2 t tout (x, y)∈[0,on pose1] ,X= etY= puish(x, y) =XAY. 1−x1−y