HEC 2002 mathematiques i classe prepa hec (s)

HEC 2002. Math 1, option scientifique.Le sujet ci-dessous vise a` faire comprendre comment deux concurrents aux int´erˆets antagonistes,ne parvenant pas a` fixer conjointement les strat´egies de l’un et l’autre, conviennent de les tirerau sort avec des probabilit´es bien d´etermin´ees.Notations :Dans tout le probl`eme n et p d´esignent des entiers naturels non nuls fix´es et on pose :E =M (R); on d´efinit de mˆeme E .n n,1 p   x1 n X. .On noteK l’ensemble X = ∈E ,x ≥ 0,...,x ≥ 0, x = 1 ; on d´efinit de mˆemen n 1 n i. i=1xnK .pLes espaces E et E , sont munis de leur structure euclidienne canonique; la norme euclidiennen pd’un vecteur X de E est not´ee ||X||; le produit scalaire de deux vecteurs X et Y de E est not´en nhX,Yi; on adopte la mˆeme notation pour les vecteurs de E .pEnfin, si k est un entier naturel non nul et, si (z ) est une famille finie de r´eels, on notei 1≤i<≤kmax z ou maxz (respectivement min z ou minz ) son plus grand (respectivement son plusi i i i1≤i≤n i 1≤i≤n ipetit) ´el´ement.Plus g´en´eralement, si f est une fonction d´efinie sur un ensemble A, `a valeurs dansR, admettantun maximum (respectivement un minimum) sur A, on note maxf(x), (respectivement minf(x)x∈A x∈Ace maximum, (respectivement ce minimum).Partie I : Le plus petit des plus grands et le plus grand des plus petitsSoit A = (a )1≤i≤n une matrice appartenant a M (R)i,j n,p1≤j≤pOn note u(A) = min ( max a ) et v(A) = max ( min a ). Pour simplifier les notations, ...