HEC 2003 mathematiques i classe prepa hec (stg)

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´ ´ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESOPTION TECHNOLOGIQUEMardi 13 mai 2003, de 8h `a 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE√3,On consid`ere un triangle ´equilat´eral A B C de longueur de cˆot´e 1, d’aire peint en noir; on d´esigne0 0 04respectivement par A ,B ,C les milieux des cˆot´es [B C ] , [A C ], [A B ] et on peint en blanc l’int´erieur1 1 1 0 0 0 0 0 0du triangle A B C . On effectue ensuite la mˆeme op´eration sur chacun des triangles encore noirs A C B ,1 1 1 0 1 1C B A , B A C et ainsi de suite pour obtenir les figures suivantes :1 0 1 1 1 0Pour tout entier naturel n, soit t le nombre de triangles ´equilat´eraux encore noirs avant la (n + 1)-i`emenop´eration, c le nombre total de leurs cˆot´es, s le nombre total de leurs sommets et a la longueur de leurn n n1cˆot´e. On a donc : t = 1, c = 3, s = 3, a = 1, t = 3, c = 9, s = 6, a = .0 0 0 0 1 1 1 121. Expimer a en fonction de n, pour tout entier naturel n.n1/42. Soit n un entier naturel n. Exprimer les nombres t , c , s `a l’aide des nombres t , c , ...

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´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

OPTION TECHNOLOGIQUE

Mardi13mai2003,de8h`a12h.

Lapre´sentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesre´sultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautorise´e.

EXERCICE √ 3 , Onconsid`ereuntriangle´equilate´ralA 0 B 0 C 0 euguonelt´ˆoecrdria’d,1eiepentennoir;ond´esinged 4 respectivement parA 1 , B 1 , C 1 s[mleeiliedxuoˆcsse´tB 0 C 0 ] , [A 0 C 0 ], [A 0 B 0 rueire´tni’lcnaltenbpeineton] du triangleA 1 B 1 C 1 rsdnucrtseusnoahcrorncoienngiaseleeuneustiO.enefftcop´eratielamˆemeA 0 C 1 B 1 , C 1 B 0 A 1 ,B 1 A 1 C 0 et ainsi de suite pour obtenir les figures suivantes :

Pour tout entier natureln, soitt n (latnavasrionerocnesee´uqlitae´arxuenombredetriangllneemi`)-+1 ope´ration,c n rscˆeleutaldretoonbmele´to,ss n le nombre total de leurs sommets eta n la longueur de leur 1 cˆot´e.Onadonc:t 0 = 1, c 0 = 3, s 0 = 3, a 0 = 1, t 1 = 3, c 1 = 9, s 1 = 6, a 1 = . 2 1.Expimera n en fonction den, pour tout entier natureln.

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