HEC 2003 mathematiques i classe prepa hec (stg)

´ ´ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESOPTION TECHNOLOGIQUEMardi 13 mai 2003, de 8h `a 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE√3,On consid`ere un triangle ´equilat´eral A B C de longueur de cˆot´e 1, d’aire peint en noir; on d´esigne0 0 04respectivement par A ,B ,C les milieux des cˆot´es [B C ] , [A C ], [A B ] et on peint en blanc l’int´erieur1 1 1 0 0 0 0 0 0du triangle A B C . On effectue ensuite la mˆeme op´eration sur chacun des triangles encore noirs A C B ,1 1 1 0 1 1C B A , B A C et ainsi de suite pour obtenir les figures suivantes :1 0 1 1 1 0Pour tout entier naturel n, soit t le nombre de triangles ´equilat´eraux encore noirs avant la (n + 1)-i`emenop´eration, c le nombre total de leurs cˆot´es, s le nombre total de leurs sommets et a la longueur de leurn n n1cˆot´e. On a donc : t = 1, c = 3, s = 3, a = 1, t = 3, c = 9, s = 6, a = .0 0 0 0 1 1 1 121. Expimer a en fonction de n, pour tout entier naturel n.n1/42. Soit n un entier naturel n. Exprimer les nombres t , c , s `a l’aide des nombres t , c , ...