INTM 2004 mathematiques

Description

INT-MANAGEMENT 2004L’énoncé comporte deux problèmes indépendants. Ils doivent être rédigés sur des copies séparées.Problème.Première partie.1) On considère la suite réelle u= u définie par :( ) ∗n n∈NZn nX 1 dx∗ √∀n∈N , u = √ − .np x1p=1a) Étudier le sens de variation de la suiteu .b) Montrer que la suiteu est convergente vers un réelL que l’on ne cherchera pas àcalculer.nX 1c) En déduire un équivalent de √ lorsquen tend vers plus l’infini.pp=12) Soit la suitev= (v ) définie par :n n∈Ni hπv ∈ 0, ∀n∈N, v = sinv .0 n+1 n2a) Étudier le sens de variation de la suitev.b) Montrer que la suitev est convergente vers un réel que l’on précisera.α αc) Déterminer un réelα tel que la suite de terme généralv −v converge vers unn+1 nréel non nul.d) On admettra le théorème de Césaro, à savoir : !nX1Pour toute suite réellew convergente vers un réell on a lim w =l.kn→+∞ nk=1A l’aide du théorème de Césaro, montrer que :r3v ∼ .nn→+∞ n3) On définit la suites par :nX∗∀n∈N , s = v .n pp=1a) Déterminer la limite des lorsquen tend vers plus l’infini.n- page 1r3b) α) Enremarquantquev équivautà quandntendversplusl’infini,montrern nque, pour tout réelε strictement positif, il existe un entier naturelN tel que,pour tout entier natureln strictement supérieur àN on ait : s !n X 3 −v p p p=N+1 <ε. s n snX 3β) En déduire ques équivaut à quandn tend vers plus l’infini.n pp=1γ) Déterminer un équivalent simple des lorsquen tend ...

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• Publié par: shura
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Extrait

INT-MANAGEMENT 2004

L’ÉnoncÉ comporte deux problÈmes indÉpendants. Ils doivent tre rÉdigÉs sur des copies sÉparÉes.

ProblÈme.

PremiÈre partie.

ite rell ∗ dfinie par : 1) Onconsidre la sueu= ( u n ) n∈N n Z n X 1dx ∗ ∀n∈N, u n = √ √ −. p 1 x p=1 a) Ètudierle sens de variation de la suiteu. b) Montrerque la suiteuest convergente vers un relLque l’on ne cherchera pas À calculer. n X 1 c) Endduire un quivalent de √ lorsquentend vers plus l’infini. p p=1 2) Soitla suitev= ( v n ) dfiniepar : n∈N i h π v 0 ∈0,∀n∈N, v n+1 =sinv n . 2 a) Ètudierle sens de variation de la suitev. b) Montrerque la suitevest convergente vers un rel que l’on prcisera. α α c) Dterminerun relαtel que la suite de terme gnralv−vconverge vers un n+1 n rel non nul. d) Onadmettra le thorme de Csaro, À savoir :  ! n X 1 Pour toute suite rellewconvergente vers un relllimon aw k =l. n→+∞ n k=1 A l’aide du thorme de Csaro, montrer que : r 3 v n ∼. n→+∞ n 3) Ondfinit la suitespar : n X ∗ ∀n∈N, s n =v p . p=1 a) Dterminerla limite des n lorsquentend vers plus l’infini.

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