INTM 2004 mathematiques

INT-MANAGEMENT 2004L’énoncé comporte deux problèmes indépendants. Ils doivent être rédigés sur des copies séparées.Problème.Première partie.1) On considère la suite réelle u= u définie par :( ) ∗n n∈NZn nX 1 dx∗ √∀n∈N , u = √ − .np x1p=1a) Étudier le sens de variation de la suiteu .b) Montrer que la suiteu est convergente vers un réelL que l’on ne cherchera pas àcalculer.nX 1c) En déduire un équivalent de √ lorsquen tend vers plus l’infini.pp=12) Soit la suitev= (v ) définie par :n n∈Ni hπv ∈ 0, ∀n∈N, v = sinv .0 n+1 n2a) Étudier le sens de variation de la suitev.b) Montrer que la suitev est convergente vers un réel que l’on précisera.α αc) Déterminer un réelα tel que la suite de terme généralv −v converge vers unn+1 nréel non nul.d) On admettra le théorème de Césaro, à savoir : !nX1Pour toute suite réellew convergente vers un réell on a lim w =l.kn→+∞ nk=1A l’aide du théorème de Césaro, montrer que :r3v ∼ .nn→+∞ n3) On définit la suites par :nX∗∀n∈N , s = v .n pp=1a) Déterminer la limite des lorsquen tend vers plus l’infini.n- page 1r3b) α) Enremarquantquev équivautà quandntendversplusl’infini,montrern nque, pour tout réelε strictement positif, il existe un entier naturelN tel que,pour tout entier natureln strictement supérieur àN on ait : s !n X 3 −v p p p=N+1 <ε. s n snX 3β) En déduire ques équivaut à quandn tend vers plus l’infini.n pp=1γ) Déterminer un équivalent simple des lorsquen tend ...