Iscid 1999 mathematiques classe prepa hec (ect)

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ISCID 1999 Option technologiqueExercice 10Si I est la matrice-unit´e d’ordre n, on posera, par convention, M =I pour toute matrice M, carr´ee d’ordre n.n nOn notera I la matrice-unit´e d’ordre 4 (c’est-`a-dire I =I )4Soient (a ) ,(b ) ,(c ) ,(d ) , les suites d´etermin´ees par la donn´ee de :n n∈N n n∈N n n∈N n n∈N a = 2 a =−a −6b +9c −6d 0  n+1 n n n n b =−1 b = 3a +8b −9c +6d0 n+1 n n n net les relations de r´ecurrence : c = 1  c = 2a +4b −4c +4d0 n+1 n n n n  d =−1 d =a +2b −3c +4d0 n+1 n n n n an bn 1. Soit, pour tout entier n> 0, X =n  cndn(a) Montrer qu’il existe une matrice A, carr´ee d’ordre 4, telle que, pour tout entier n> 1, X =AX .n+1 n2 2(b) Calculer A . Montrer qu’il existe deux r´eels α et β tels que A =αA+βI.−1(c) En d´eduire que A est inversible. Pr´esenter alors A sous forme d’un tableau de nombres.2. Soient (u ) , et (v ) , les suites d´etermin´ees par :n n∈N n n∈N u = 1 u =−2v0 n+1 net les relations de r´ecurrence :v = 0 v =u +3v0 n+1 n nnMontrer par r´ecurrence que, pour tout entier n> 1, A =u I +v A.n n3.(a) Montrer qu’il existe une matrice M, carr´ee d’ordre 2, telle que, pour tout entier n> 1, u un+1 n=Mv vn+1 n 2 1 −1(b) Soit P = . Montrer que P est inversible, et calculer P .−1 −1−1 n4. Soit D =P MP. Calculer D, puis, pour tout entier n> 0, D .5.n n −1(a) Montrer que, pour tout entier n> 0, M =PD P .n(b) Pr´esenter alors M sous la forme d’un tableau de nombres.(c) Exprimer u et ...

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ISCID 1999 Option technologique

Exercice 1 0 SiI n n,onrdrera,pposevnneraoc,itnoesamtlirtau-ec´tino’deM=I n pour toute matriceMerrrac,dro’dee´n. On noteraIlmanit´ed’oatrice-u-tsed-a`erdr’c(4eirI=I 4 ) Soient (a n ) n∈N ,(b n ) n∈N ,(c n ) n∈N ,(d n ) n∈N :,dleenimrete´dsetiusseen´onadrlpaes´e   a 0 = 2a n+1 =−a n −6b n + 9c n −6d n     b 0 =−1b n+1 = 3a n + 8b n −9c n + 6d n etlesrelationsder´ecurrence: c 0 = 1c n+1 = 2a n + 4b n −4c n + 4d n     d 0 =−1d n+1 =a n + 2b n −3c n + 4d n   a n b n  1. Soit,pour tout entiern>0,X n =   c n d n (a) Montrerqu’il existe une matriceAr´ar,centietroutpourque,leel4et,rordee’dn>1,X n+1 =AX n . 2 2 (b) CalculerA’iquertredstxilelee´rxueM.nosαetβtels queA=αA+βI. −1 (c)End´eduirequeAnvtisiere.bl´ePrtneslaresroseAsous forme d’un tableau de nombres. 2. Soient(u n ) n∈N , et (v n ) n∈N e´seap:re´etmrnisdteuissle,   u 0 = 1u n+1 =−2v n etlesrelationsdere´currence: v 0 = 0v n+1 =u n + 3v n n Montrerparre´currenceque,pourtoutentiern>1,A=u n I+v n A. 3. (a) Montrerqu’il existe une matriceM2et,leeluq,eopru,carr´eed’ordrreitnetuotn>1,    u n+1 u n =M v n+1 v n   2 1 −1 (b) SoitP= .Montrer quePest inversible, et calculerP . −1−1 −1n 4. SoitD=P MP. CalculerD, puis, pour tout entiern>0,D. 5. n n−1 (a) Montrerque, pour tout entiern>0,M=PP D. n (b)Pre´senteralorsMsous la forme d’un tableau de nombres. (c) Exprimeru n etv n en fonction den. 6. n (a)D´eduiredecequipre´c`edel’expression,pourtoutentiern>0, deAsous la forme d’un tableau de nombres. (b) Donneralors l’expression dea n , b n , c n , d n en fonction den. n (c) L’expressiondeAobtenue en a.) pourn>0 est-elle encore valable pourn=−1 ?

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