Iscid 1999 mathematiques classe prepa hec (ect)

ISCID 1999 Option technologiqueExercice 10Si I est la matrice-unit´e d’ordre n, on posera, par convention, M =I pour toute matrice M, carr´ee d’ordre n.n nOn notera I la matrice-unit´e d’ordre 4 (c’est-`a-dire I =I )4Soient (a ) ,(b ) ,(c ) ,(d ) , les suites d´etermin´ees par la donn´ee de :n n∈N n n∈N n n∈N n n∈N a = 2 a =−a −6b +9c −6d 0  n+1 n n n n b =−1 b = 3a +8b −9c +6d0 n+1 n n n net les relations de r´ecurrence : c = 1  c = 2a +4b −4c +4d0 n+1 n n n n  d =−1 d =a +2b −3c +4d0 n+1 n n n n an bn 1. Soit, pour tout entier n> 0, X =n  cndn(a) Montrer qu’il existe une matrice A, carr´ee d’ordre 4, telle que, pour tout entier n> 1, X =AX .n+1 n2 2(b) Calculer A . Montrer qu’il existe deux r´eels α et β tels que A =αA+βI.−1(c) En d´eduire que A est inversible. Pr´esenter alors A sous forme d’un tableau de nombres.2. Soient (u ) , et (v ) , les suites d´etermin´ees par :n n∈N n n∈N u = 1 u =−2v0 n+1 net les relations de r´ecurrence :v = 0 v =u +3v0 n+1 n nnMontrer par r´ecurrence que, pour tout entier n> 1, A =u I +v A.n n3.(a) Montrer qu’il existe une matrice M, carr´ee d’ordre 2, telle que, pour tout entier n> 1, u un+1 n=Mv vn+1 n 2 1 −1(b) Soit P = . Montrer que P est inversible, et calculer P .−1 −1−1 n4. Soit D =P MP. Calculer D, puis, pour tout entier n> 0, D .5.n n −1(a) Montrer que, pour tout entier n> 0, M =PD P .n(b) Pr´esenter alors M sous la forme d’un tableau de nombres.(c) Exprimer u et ...