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ISFA 1998 2eme epreuve de mathematiques option a

3 pages
I. S. F. A. 1998-1999 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. Les trois exercices proposés sont indépendants. EXERCICE 1 (ALGEBRE) Le but de cet exercice est de déterminer tous les couples d’entiers ( n,k ) satisfaisant : k k−1(1) C = C pour n ≥ k ≥ 1 . n n+11°- On pose p = n− k + 1 et on note t le PGCD de p et k , et s le quotient entier de k par t. Montrer que : 2 2 p = t et t + 1= s( t + s ) 2°- Soit ( s,t ) un couple d’entiers naturels satisfaisant 2(2) t + 1= s(s+ t) , s>1 , t>1 . v  1 − 1 t Montrer que le couple ( u,v ) défini par = vérifie aussi :      u −1 2 s     2v + 1= u(v+ u) 0
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1°- On posep=nk+1et on notetle PGCD depetk, etsle quotient entier dekpart. Montrer que :
I. S. F. A. _________
Concours d'Entrée _______________
Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. Les trois exercices proposés sont indépendants. EXERCICE1 (ALGEBRE) Le but de cet exercice est de déterminer tous les couples d’entiers( n,k )satisfaisant :
k k1 (1)C=Cpournk1. n n+1
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________
1998
1998-1999 _________
EXERCICE2 (SERIES DEFOURIER ET INTEGRATION) 2π 1 1°- Soitf unefonction à valeurs réelles définie et de classeCsur[0,2π]que tellef ( t )dt=0. En utilisant le 0 développement en série de Fourier des prolongéesà3 ,2périodique, des fonctionsf etf’ montrerl’inégalité de Wirtinger : 2π2π ' 22 f (s )dsf(s)ds. ∫ ∫ 0 0 Que peut-on dire pourf lorsqu’il y a égalité ?
2°- Soit( s,t )un couple d’entiers naturels satisfaisant 2 (2)t+1=s(s+t) ,t>1s>1 ,. v  11 tMontrer que le couple( u ,v )défini par=vérifie aussi :     us1 2     2 v+1=u(v+u)0<v<t .0<u<s et 3°- En déduire que si(s,t) est un couple d’entiers naturels strictement positifs satisfaisant (2), il existe un entier naturel mtel que : m t 2 1 1=.     s 11 1     4°- Déterminer alors l’ensemble des couples( n, k )solutions de (1).
2 2 p=tett+1=s( t+s )
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