ISFA 1999 2eme epreuve de mathematiques option a

Description

I. S. F. A. 1999-2000 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Calculatrices interdites. Les quatre exercices proposés sont indépendants. EXERCICE 1 Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réels α et β pour que toutes les solutions du système différentiel x′′()t =−(α+β)x()t +βy()t y′()t =βx()t −βy()t2soient des fonctions t →()xt , y(t) bornées de IR dans IR . EXERCICE 2 1) Par intégration par parties successives établir que pour tout entier naturel n : +∞−u n n!= e u du . ∫ 02) En faisant le changement de variable u = n+ x n , établir pour tout entier naturel non nul n : +∞n+1 −nn .e x x n!= exp( n(n(1+ )− ))dx . ∫n n n− n3) On considère la suite de fonctions ()f de IR dans IR définie par : n n≥1 f ()x = 0 si x≤− n n  −x x n +n 1+   n n    f ()x = e pour x>− n . n Montrer que ()f est une suite de fonctions continues par morceaux convergent simplement vers la n n≥12− x2fonction : x→ e . 4) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 : n et pour tout x≥ 0 on pose :   − x x ϕ()x = n +n1+  + x−n()1+ x .   n n  +Montrer que ϕ est décroissante sur IR , en déduire que pour tout x≥ 0 on a ϕ()x ≤ 0 , puis que pour tout n entier naturel non nul et tout x≥ 0 : −x 0≤ f ()x ≤ e (1+ x) . n5) Pour u réel satisfaisant ...

Informations

• Publié par: shura
• Nombre de lectures: 279
• Langue: Français

Extrait





I. S. F. A. _________ 

 

E XERCICE 1

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________  Durée : 4 heures

OPTION A

Calculatrices interdites.

Les quatre exercices proposés sont indépendants.

 Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réels et solutions du système différentiel    x y ( ( ′′ t t ) − () β= = x ( α t β+ ) β− ) x y ( ( t t ) + β y ( t )   ′ ) soient des fonctionst→ (x(t), y(t))bornéesde IR dans IR  2 . E XERCICE 2







1999

1999-2000 _________ 

Concours d'Entrée _______________ 

 pour que toutes les

1) Par intégration par parties successives établir que pour tout entier natureln: +∞  n!= ∫ 0 e −u u n du . 2) En faisant le changement de variableu=n+x n, établir pour tout entier naturel non nuln: n+1−n +∞ n!= e.n ∫ exp( n(n( 1+) x −dx)) x . n n n −n 3) On considère la suite de fonctions(f n ) n≥1 deRdansRdéfinie par :  n f(x) =0 six≤ −n n −x +n   1+ x f n ( x ) =e     n   n         pourx> −n.  Montrer que ( f n ) n≥1 est une suite de fonctions continues par morceaux convergent simplement vers la 2 −x fonction :x→ e 2 . 4) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 :net pour toutx≥0on pose : x x ( ) n   n 1    x n ( 1 x ) ϕx=   − n +    + n     + −+. Montrer que est décroissante surR + , en déduire que pour toutx≥0on aϕ(x) ≤0, puis que pour toutnentier naturel non nul et toutx≥0: 0≤ n f(x) ≤e −x (1+x). 5) Poururéel satisfaisant−1<u<0montrer que