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ISFA 1999 2eme epreuve de mathematiques option a

3 pages
I. S. F. A. 1999-2000 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Calculatrices interdites. Les quatre exercices proposés sont indépendants. EXERCICE 1 Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réels α et β pour que toutes les solutions du système différentiel x′′()t =−(α+β)x()t +βy()t y′()t =βx()t −βy()t2soient des fonctions t →()xt , y(t) bornées de IR dans IR . EXERCICE 2 1) Par intégration par parties successives établir que pour tout entier naturel n : +∞−u n n!= e u du . ∫ 02) En faisant le changement de variable u = n+ x n , établir pour tout entier naturel non nul n : +∞n+1 −nn .e x x n!= exp( n(n(1+ )− ))dx . ∫n n n− n3) On considère la suite de fonctions ()f de IR dans IR définie par : n n≥1 f ()x = 0 si x≤− n n  −x x n +n 1+   n n    f ()x = e pour x>− n . n Montrer que ()f est une suite de fonctions continues par morceaux convergent simplement vers la n n≥12− x2fonction : x→ e . 4) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 : n et pour tout x≥ 0 on pose :   − x x ϕ()x = n +n1+  + x−n()1+ x .   n n  +Montrer que ϕ est décroissante sur IR , en déduire que pour tout x≥ 0 on a ϕ()x ≤ 0 , puis que pour tout n entier naturel non nul et tout x≥ 0 : −x 0≤ f ()x ≤ e (1+ x) . n5) Pour u réel satisfaisant ...
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I. S. F. A. _________
EXERCICE1
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
OPTION A
Calculatrices interdites.
Les quatre exercices proposés sont indépendants.
 Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réels et solutions du système différentiel xy((tt)()β==x(αtβ+)β)xy((tt) + βy(t)) soient des fonctionst→ (x(t), y(t))bornéesdeIRdansIR2. EXERCICE2
1999
1999-2000 _________
Concours d'Entrée _______________
 pour que toutes les
1) Par intégration par parties successives établir que pour tout entier natureln: +∞ n!=0euundu. 2) En faisant le changement de variableu=n+x n, établir pour tout entier naturel non nuln: n+1n+∞ n!=e.nexp( n(n( 1+)xdx))x. n n n n 3) On considère la suite de fonctions(fn)n1deRdansRdéfinie par : nf(x) =0 six≤ −nnx+n1+x fn(x)=enn pourx> −n.  Montrer que(fn)n1est une suite de fonctions continues par morceaux convergent simplement vers la 2 x fonction :xe 2. 4) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 :net pour toutx0on pose : x x ( )nn 1x n(1 x) ϕx=n++n+ −+. Montrer que est décroissante surR+, en déduire que pour toutx0on aϕ(x) ≤0, puis que pour toutnentier naturel non nul et toutx0: 0nf(x) ≤ex(1+x). 5) Poururéel satisfaisant1<u<0montrer que
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