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I. S. F. A. _________
EXERCICE1
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
OPTION A
Calculatrices interdites.
Les quatre exercices proposés sont indépendants.
 Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réels et solutions du système différentiel xy((tt)()β==x(αtβ+)β)xy((tt) + βy(t)) soient des fonctionst→ (x(t), y(t))bornéesdeIRdansIR2. EXERCICE2
1999
1999-2000 _________
Concours d'Entrée _______________
 pour que toutes les
1) Par intégration par parties successives établir que pour tout entier natureln: +∞ n!=0euundu. 2) En faisant le changement de variableu=n+x n, établir pour tout entier naturel non nuln: n+1n+∞ n!=e.nexp( n(n( 1+)xdx))x. n n n n 3) On considère la suite de fonctions(fn)n1deRdansRdéfinie par : nf(x) =0 six≤ −nnx+n1+x fn(x)=enn pourx> −n.  Montrer que(fn)n1est une suite de fonctions continues par morceaux convergent simplement vers la 2 x fonction :xe 2. 4) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 :net pour toutx0on pose : x x ( )nn 1x n(1 x) ϕx=n++n+ −+. Montrer que est décroissante surR+, en déduire que pour toutx0on aϕ(x) ≤0, puis que pour toutnentier naturel non nul et toutx0: 0nf(x) ≤ex(1+x). 5) Poururéel satisfaisant1<u<0montrer que