I. S. F. A. 1999-2000 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Calculatrices interdites. Les quatre exercices proposés sont indépendants. EXERCICE 1 Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réels α et β pour que toutes les solutions du système différentiel x′′()t =−(α+β)x()t +βy()t y′()t =βx()t −βy()t2soient des fonctions t →()xt , y(t) bornées de IR dans IR . EXERCICE 2 1) Par intégration par parties successives établir que pour tout entier naturel n : +∞−u n n!= e u du . ∫ 02) En faisant le changement de variable u = n+ x n , établir pour tout entier naturel non nul n : +∞n+1 −nn .e x x n!= exp( n(n(1+ )− ))dx . ∫n n n− n3) On considère la suite de fonctions ()f de IR dans IR définie par : n n≥1 f ()x = 0 si x≤− n n −x x n +n 1+ n n f ()x = e pour x>− n . n Montrer que ()f est une suite de fonctions continues par morceaux convergent simplement vers la n n≥12− x2fonction : x→ e . 4) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 : n et pour tout x≥ 0 on pose : − x x ϕ()x = n +n1+ + x−n()1+ x . n n +Montrer que ϕ est décroissante sur IR , en déduire que pour tout x≥ 0 on a ϕ()x ≤ 0 , puis que pour tout n entier naturel non nul et tout x≥ 0 : −x 0≤ f ()x ≤ e (1+ x) . n5) Pour u réel satisfaisant ...
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
OPTION A
Calculatrices interdites.
Les quatre exercices proposés sont indépendants.
Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réels et solutions du système différentiel xy((′′tt)−()β==x(αtβ+)β−)xy((tt) + βy(t)′) soient des fonctionst→ (x(t), y(t))bornéesdeIRdansIR2. EXERCICE2
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1999-2000 _________
Concours d'Entrée _______________
pour que toutes les
1) Par intégration par parties successives établir que pour tout entier natureln: +∞ n!=∫0e−uundu. 2) En faisant le changement de variableu=n+x n, établir pour tout entier naturel non nuln: n+1−n+∞ n!=e.n∫exp( n(n( 1+)x−dx))x. n n n −n 3) On considère la suite de fonctions(fn)n≥1deRdansRdéfinie par : nf(x) =0 six≤ −nn−x+n1+x fn(x)=enn pourx> −n. Montrer que(fn)n≥1est une suite de fonctions continues par morceaux convergent simplement vers la 2 −x fonction :x→e 2. 4) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 :net pour toutx≥0on pose : x x ( )nn 1x n(1 x) ϕx=−n++n+ −+. Montrer que est décroissante surR+, en déduire que pour toutx≥0on aϕ(x) ≤0, puis que pour toutnentier naturel non nul et toutx≥0: 0≤nf(x) ≤e−x(1+x). 5) Poururéel satisfaisant−1<u<0montrer que