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Isfa 2000 1ere epreuve de mathematiques 1ere epreuve de mathematiques 2000

3 pages
I. S. F. A. 2000-2001 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Les trois exercices sont indépendants. Calculatrices non autorisées. EXERCICE 1 π dt 1°) Pour a et b réels strictement positifs calculer l’intégrale I(a,b)= . (On pourra poser x=tg(t)). 222∫ab+ sint0 2°) Soit tf→ ()tune fonction positive et continue sur [c,+∞ ) (c>0) et λ un réel strictement positif . ∞ cn+λ(1+)Montrer que l’intégrale généralisée f(td) tet la série [(f td)t] , n∈N*, sont de même ∑∫ ∫cn+λcnature. (N* désigne l’ensemble des entiers strictement positifs). (1n+π)αtdt 3°) Soient α et β deux réels et soit la suite { u = , n∈N*}. n β 2∫1s+ttinnπEn utilisant un encadrement de u , montrer que u est équivalent au voisinage de l’infini à n n(1n+π) (1n+π)dt dtααn π . Déterminer un équivalent de v = (on distinguera les cas β>0, n∫ β 2 ∫ β 21s+ttin 1s+ttinnπ nπβ<0 et β=0). ∞αt 4°) On considère l’intégrale J(α,β) = dt . Déduire de 3° l’ensemble des couples (α,β) tels que ∫ β 21s+ttinπl’intégrale J(α,β) converge. Donner une représentation graphique de cet ensemble. EXERCICE 2 N désigne l’ensemble des entiers positifs ou nuls et N* l’ensemble des entiers strictement positifs. Soit {rn, ∈N} une suite à valeurs dans N*. nn ri A la suite {rn, ∈N} on associe la suite {un, ∈N} définie par la relation u = n n n ∏ r +1i=0 i 1°) Montrer que la suite {un, ∈N} ...
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PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
2000-2001 _________
Concours d'Entrée _______________
I. S. F. A. _________
4°)
Montrer que lintégrale généralist dt, ée(t)dtet la série[c+λλ+(n+1)( ) ]n,*N de même sont c n c nature. (N* désigne lensemble des entiers strictement positifs). (n1)α Soientαetβdeux réels et soit la suite {un=+π1+tβdit2,nN*}. s n nπt t En utilisant un encadrement deun , montrer queun est équivalent au voisinage de linfini à (n1) (n+1)πdt nαπ+αππ1+tβdstin2t . Déterminer un équivalent devn=π1+tβsin2t (on distinguera les casβ>0, n n β<0 etβ=0).
Soittf(t) une fonction positive et continue sur [c,+∞) (c>0) etλun réel strictement positif .
Pouraetbréels strictement positifs calculer lintégraleI(a,b)=0πa2+bd2tsin2t. (On pourra poserx=tg(t)).
EXERCICE 2
∞ α On considère lintégraleJ(α,β) =1+tβtsin2tdt. Déduire de 3° lensemble des couples (α,β) tels que π lintégraleJ(α,β Donner une représentation graphique de cet ensemble.) converge.
2000
Les trois exercices sont indépendants. Calculatrices non autorisées.
3°)
2°)
1°)
EXERCICE 1
Montrer que la suite {un,nN} est monotone. En déduire sa convergence. On noteλla limite de la suite {un,nN}. a) Donner un exemple de suite {rn,nN} telle que la suite associée {un,nN} soit de limite nulle. b) Montrer que la conditionλ ≠ équivalente à la convergence de la série0 estr1. n
Cette question a pour objet de construire, pour un réel donnéλde lintervalle[0 , 1[une suite{rn,nN}
nr A la suite {rn,nN} on associe la suite {un,nN} définie par la relationun==0ri+1 i i
telle que la suite associée{un,nN}aitλpour limite. a) Soitλ ∈[0,1[ . Montrer quil existe un unique entierrdeN* tel que : r1r ≤ λ <. r r+1
3°)
2°)
Ndésigne lensemble des entiers positifs ou nuls etN* lensemble des entiers strictement positifs. Soit {rn,nN} une suite à valeurs dansN*.
1°)
Un pour Un
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