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PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
2000-2001 _________
Concours d'Entrée _______________
I. S. F. A. _________
4°)
Montrer que lintégrale généralist dt, ée(t)dtet la série[c+λλ+(n+1)( ) ]n,*N de même sont c n c nature. (N* désigne lensemble des entiers strictement positifs). (n1)α Soientαetβdeux réels et soit la suite {un=+π1+tβdit2,nN*}. s n nπt t En utilisant un encadrement deun , montrer queun est équivalent au voisinage de linfini à (n1) (n+1)πdt nαπ+αππ1+tβdstin2t . Déterminer un équivalent devn=π1+tβsin2t (on distinguera les casβ>0, n n β<0 etβ=0).
Soittf(t) une fonction positive et continue sur [c,+∞) (c>0) etλun réel strictement positif .
Pouraetbréels strictement positifs calculer lintégraleI(a,b)=0πa2+bd2tsin2t. (On pourra poserx=tg(t)).
EXERCICE 2
∞ α On considère lintégraleJ(α,β) =1+tβtsin2tdt. Déduire de 3° lensemble des couples (α,β) tels que π lintégraleJ(α,β Donner une représentation graphique de cet ensemble.) converge.
2000
Les trois exercices sont indépendants. Calculatrices non autorisées.
3°)
2°)
1°)
EXERCICE 1
Montrer que la suite {un,nN} est monotone. En déduire sa convergence. On noteλla limite de la suite {un,nN}. a) Donner un exemple de suite {rn,nN} telle que la suite associée {un,nN} soit de limite nulle. b) Montrer que la conditionλ ≠ équivalente à la convergence de la série0 estr1. n
Cette question a pour objet de construire, pour un réel donnéλde lintervalle[0 , 1[une suite{rn,nN}
nr A la suite {rn,nN} on associe la suite {un,nN} définie par la relationun==0ri+1 i i
telle que la suite associée{un,nN}aitλpour limite. a) Soitλ ∈[0,1[ . Montrer quil existe un unique entierrdeN* tel que : r1r ≤ λ <. r r+1
3°)
2°)
Ndésigne lensemble des entiers positifs ou nuls etN* lensemble des entiers strictement positifs. Soit {rn,nN} une suite à valeurs dansN*.
1°)
Un pour Un
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