Isfa 2000 1ere epreuve de mathematiques 1ere epreuve de mathematiques 2000

I. S. F. A. 2000-2001 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Les trois exercices sont indépendants. Calculatrices non autorisées. EXERCICE 1 π dt 1°) Pour a et b réels strictement positifs calculer l’intégrale I(a,b)= . (On pourra poser x=tg(t)). 222∫ab+ sint0 2°) Soit tf→ ()tune fonction positive et continue sur [c,+∞ ) (c>0) et λ un réel strictement positif . ∞ cn+λ(1+)Montrer que l’intégrale généralisée f(td) tet la série [(f td)t] , n∈N*, sont de même ∑∫ ∫cn+λcnature. (N* désigne l’ensemble des entiers strictement positifs). (1n+π)αtdt 3°) Soient α et β deux réels et soit la suite { u = , n∈N*}. n β 2∫1s+ttinnπEn utilisant un encadrement de u , montrer que u est équivalent au voisinage de l’infini à n n(1n+π) (1n+π)dt dtααn π . Déterminer un équivalent de v = (on distinguera les cas β>0, n∫ β 2 ∫ β 21s+ttin 1s+ttinnπ nπβ<0 et β=0). ∞αt 4°) On considère l’intégrale J(α,β) = dt . Déduire de 3° l’ensemble des couples (α,β) tels que ∫ β 21s+ttinπl’intégrale J(α,β) converge. Donner une représentation graphique de cet ensemble. EXERCICE 2 N désigne l’ensemble des entiers positifs ou nuls et N* l’ensemble des entiers strictement positifs. Soit {rn, ∈N} une suite à valeurs dans N*. nn ri A la suite {rn, ∈N} on associe la suite {un, ∈N} définie par la relation u = n n n ∏ r +1i=0 i 1°) Montrer que la suite {un, ∈N} ...