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ISFA 2000 2eme epreuve de mathematiques option a

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I. S. F. A. 2000-2001 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A L’exercice et le problème sont indépendants. Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2 On considère dans IR les deux domaines suivants : 2  2 2u D = (u, v)∈ IR 2 < u < 4 et 1< v < ; ∆= (,xy∈)IR2< x+ y< 4 etxy> 1 et x< y . { }  4 2 2 1°) Montrer que D et ∆ sont deux ouverts bornés de IR et que l’application ϕ de ∆ dans IR : u = x + y∞ (x, y) → (u, v) = ϕ(x, y) avec est une bijection C de ∆ sur D.  v = xy  Calculer son jacobien. 2°) En utilisant le résultat précédent, calculer l’intégrale 2 2 I = (x − y ) cos(xy)dxdy . ∫∫∆ 3°) Calculer à nouveau I, mais en utilisant cette fois la formule de Green Riemann. (On ne s’attardera pas à justifier la légitimité du changement de variables dans I, ni la légitimité d’application de la formule de Green Riemann). PROBLEME 1 nI. On considère une application W de classe C de IR dans IR convexe, c’est-à-dire vérifiant pour tout couple n(x, y) de IR et tout λ∈[]0,1 W((1−λ)x +λy) ≤ (1−λ)W(x) + λW(y) . nPour h et x fixés dans IR, 0h ≠ et t réel on pose ϕ (t) = W(x + th) . (h,x)1°) Montrer que ϕ est aussi convexe de IR dans IR , en déduire que (h,x) ϕ (0) ≤ ϕ (1) −ϕ (0). ′(h,x) (h,x) (h,xn2°) En conclure que, pour tout couple (x, y) de IR , on a l’inégalité : gradW(x), y − x ≤ W(y) ...
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I. S. F. A. _________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
2000-2001 _________
Concours d'Entrée _______________
OPTION A L’exercice et le problème sont indépendants. Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2  Onconsidère dansIRles deux domaines suivants : 222 u D=(u,v)IR2<u<4et1<v<Δ =(x,y)IR2<x+y<4etxy>1etx<y  ;.   4  2 2  1°)Montrer queDetΔsont deux ouverts bornés deIRet que l’applicationdeΔdansIR: u=x+y (x,y)(u,v)=(x,y)avec estune bijectionCdeΔsurD. v=xy  Calculerson jacobien.  2°)En utilisant le résultat précédent, calculer l’intégrale 2 2 I=(xy) cos(xy)dxdy. ∫∫ Δ  3°)Calculer à nouveauI, mais en utilisant cette fois la formule de Green Riemann. (On ne s’attardera pas à justifier la légitimité du changement de variables dans I, ni la légitimité d’application de la formule de Green Riemann). PROBLEME 1n I.On considère une applicationW declasseCdeIR dansIRconvexe, c’est-à-dire vérifiant pour tout couple n (x,y)deIRet toutλ ∈[0,1]W((1− λ)x+ λy)(1− λ)W(x)+ λW(y). n Pourhetxfixés dansIR,h0 ettréel on poseϕ(t)=W(x+th) . (h,x) 1°) Montrerqueϕest aussi convexe deIRdansIR, en déduire que (h,x) ϕ(0)≤ ϕ(1)− ϕ(0) . (h,x) (h,x) (h,x) n 2°) En conclure que, pour tout couple(x,y)deIR, on a l’inégalité : gradW(x),yxW(y)W(x) . 1n n On rappelle que pourW applicationCdeIR dansIR,gradW(x)est le vecteur deIR decomposantes WWW(x), (x),, (x) .   xxx 1 2nn II.On suppose maintenant queWstrictement convexe, c’est-à-dire vérifie, pour tout couple est(x,y) deIR, xy, et toutλ ∈]0,1[2000
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