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I. S. F. A. _________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
2000-2001 _________
Concours d'Entrée _______________
OPTION A L’exercice et le problème sont indépendants. Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2  Onconsidère dansIRles deux domaines suivants : 222 u D=(u,v)IR2<u<4et1<v<Δ =(x,y)IR2<x+y<4etxy>1etx<y  ;.   4  2 2  1°)Montrer queDetΔsont deux ouverts bornés deIRet que l’applicationdeΔdansIR: u=x+y (x,y)(u,v)=(x,y)avec estune bijectionCdeΔsurD. v=xy  Calculerson jacobien.  2°)En utilisant le résultat précédent, calculer l’intégrale 2 2 I=(xy) cos(xy)dxdy. ∫∫ Δ  3°)Calculer à nouveauI, mais en utilisant cette fois la formule de Green Riemann. (On ne s’attardera pas à justifier la légitimité du changement de variables dans I, ni la légitimité d’application de la formule de Green Riemann). PROBLEME 1n I.On considère une applicationW declasseCdeIR dansIRconvexe, c’est-à-dire vérifiant pour tout couple n (x,y)deIRet toutλ ∈[0,1]W((1− λ)x+ λy)(1− λ)W(x)+ λW(y). n Pourhetxfixés dansIR,h0 ettréel on poseϕ(t)=W(x+th) . (h,x) 1°) Montrerqueϕest aussi convexe deIRdansIR, en déduire que (h,x) ϕ(0)≤ ϕ(1)− ϕ(0) . (h,x) (h,x) (h,x) n 2°) En conclure que, pour tout couple(x,y)deIR, on a l’inégalité : gradW(x),yxW(y)W(x) . 1n n On rappelle que pourW applicationCdeIR dansIR,gradW(x)est le vecteur deIR decomposantes WWW(x), (x),, (x) .   xxx 1 2nn II.On suppose maintenant queWstrictement convexe, c’est-à-dire vérifie, pour tout couple est(x,y) deIR, xy, et toutλ ∈]0,1[2000