ISFA 2001 2eme epreuve de mathematiques option a

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I. S. F. A. 2001-2002 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. PROBLEME 1 - I - 1 On note W(0, A,1, B) l’ensemble des fonctions à valeurs réelles p : t → p(t) définies et de classe C sur []0,1 satisfaisant p(0) = A et p(1) = B . Si A=B=0 on simplifie l’écriture en posant W = W(0,0,1,0) . 0t[]1°) Soit C : t → C(t)une fonction réelle définie et continue sur 0,1 on pose h(ot)= (C(x)− m)dxù ∫01m = C(x)dx montrer que h appartient à W et satisfait : ∫ 001 1 1 2 C(x)h′(x)dx = (C(x)− m)h′(x)dx = (C(x)− m) dx . ∫ ∫ ∫0 0 0 En déduire que si C vérifie la propriété : 1′ C(x)u (x)dx =0 pour toute fonction u de W , ∫ 00 alors C(t) = m pour tout t de []0,1 . t2°) Soit α :t→α(t) et β :t→β(t) deux fonctions réelles définies et continues sur []0,1 on pose A(.t)= α(x)dx ∫01′ Montrer que si (α(t)u(t) + β(t)u (t))dt = 0 pour toute fonction u de W ∫ 001 on a aussi (β(t) − A(t)) u′(t)dt = 0 pour toute fonction u de W ∫ 001 déduire du 1°) que β est de classe C sur []0,1 et vérifie : β′(t)=α(t)pour tout t de []0,1 . - II - 2 2 On désigne par L une fonction (x, y)→ L(x, y) de IR dans IR supposée de classe C . A l’aide de L on définit une application de W(0, A,1, B) dans IR en posant : 1 ℑ(p) = L(p(t), p′(t))dt pour p∈W(0, A,1, B). On suppose qu’il existe un maximum de ℑ sur ∫0W(0, A,1, B) réalisé ...

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I. S. F. A. _________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures

2001-2002 _________

Concours d'Entrée _______________

OPTION A Les calculatrices sont interdites. PROBLEME 1 - I - 1  Onnote W(0,A,1,B) l’ensemble des fonctions à valeurs réelles p:t→p(t) définies et de classeC sur [ 0,1 ] satisfaisant p(0)=A et p(1)=B . SiA=B=0 on simplifie l’écriture en posantW=W(0,0,1,0) . 0 t 1°) Soit C:t→C(t) une fonction réelle définie et continue sur [ 0,1 ] pose onh(t)=(C(x)−m)dxoù ∫ 0 1 m=C(x)dxmontrer quehappartient àWet satisfait : ∫ 0 0 1 11 2 C(x)h ′ (x)dx=(C(x)−m)h ′ (x)dx=(C(x)−m)dx. ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0  Endéduire que siCvérifie la propriété : 1 C(x)u ′ (x)dx=0 pourtoute fonctionudeW, ∫ 0 0  alors C(t)=m pour touttde [ 0,1 ] . t 2°) Soit α :t →α (t) et β :t →β (t) deux fonctions réelles définies et continues sur [ 0,1 ] on poseA(t) = α (x)dx. ∫ 0 1  Montrerque si (α(t)u(t)+ β(t)u ′ (t))dt=0 pourtoute fonctionudeW ∫ 0 0 1  ona aussi(β(t)−A(t))u ′ (t)dt=toute fonction0 pourudeW ∫ 0 0 1  déduiredu 1°) queβest de classe C sur [ 0,1 ] et vérifie : β′ (t)= α(t) pour touttde [ 0,1 ] . - II - 2 2  Ondésigne parLune fonction (x,y)→L(x,y) de IR dansRsupposée de classe C . A l’aide deLon définit une application de W(0,A,1,B) dans R en posant : 1 ℑ(p)=L(p(t),p ′ (t))dt pour p∈W(0,A,1,B) . On suppose qu’il existe un maximum deℑ sur ∫ 0 W(0,A,1,B) réalisé pour une fonctionpde W(0,A,1,B) . 0 1°) Montrerque pour toutudeWla fonctionϕdeRdansRdéfinie par : 0 u 1 ϕ( s )= L ( p ( t )+ su ( t ), p ′ ( t )+ su ′ ( t )) dt u ∫ 0 00  possèdeun maximum ens=0. 1  ∂L∂L  2°) Endéduire que :(p(t),p ′ (t))u(t)+(p(t),p ′ (t))u ′ (t)dt=0 . ∫ 0 00 00  ∂x∂y   

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