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I. S. F. A. _________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
2001-2002 _________
Concours d'Entrée _______________
OPTION A Les calculatrices sont interdites. PROBLEME 1 - I -1  OnnoteW(0,A,1,B)l’ensemble des fonctions à valeurs réellesp:tp(t)définies et de classeC sur[0,1]satisfaisantp(0)=Aetp(1)=B. SiA=B=0 on simplifie l’écriture en posantW=W(0,0,1,0) . 0 t 1°) SoitC:tC(t)une fonction réelle définie et continue sur[0,1]pose onh(t)=(C(x)m)dx0 1 m=C(x)dxmontrer quehappartient àWet satisfait : 0 0 1 11 2 C(x)h(x)dx=(C(x)m)h(x)dx=(C(x)m)dx. 000  Endéduire que siCvérifie la propriété : 1 C(x)u(x)dx=0 pourtoute fonctionudeW, 0 0  alorsC(t)=mpour touttde[0,1]. t 2°) Soitα:t→α(t) etβ:t→β(t) deux fonctions réelles définies et continues sur[0,1]on poseA(t)= α(x)dx. 0 1  Montrerque si(α(t)u(t)+ β(t)u(t))dt=0 pourtoute fonctionudeW0 0 1  ona aussi(β(t)A(t))u(t)dt=toute fonction0 pourudeW0 0 1  déduiredu 1°) queβest de classeCsur[0,1]et vérifie : β′(t)= α(t) pour touttde[0,1]. - II -22  Ondésigne parLune fonction(x,y)L(x,y)deIRdansRsupposée de classeC. A l’aide deLon définit une application deW(0,A,1,B)dansRen posant : 1 (p)=L(p(t),p(t))dt pourpW(0,A,1,B). On suppose qu’il existe un maximum de sur 0 W(0,A,1,B)réalisé pour une fonctionpdeW(0,A,1,B). 0 1°) Montrerque pour toutudeWla fonctionϕdeRdansRdéfinie par : 0u 1 ϕ(s)=L(p(t)+su(t),p(t)+su(t))dtu0 00  possèdeun maximum ens=0. 1 LL2°) Endéduire que :(p(t),p(t))u(t)+(p(t),p(t))u(t)dt=0 . 0 00 00 xy 
2001