ISFA 2001 2eme epreuve de mathematiques option a

I. S. F. A. 2001-2002 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. PROBLEME 1 - I - 1 On note W(0, A,1, B) l’ensemble des fonctions à valeurs réelles p : t → p(t) définies et de classe C sur []0,1 satisfaisant p(0) = A et p(1) = B . Si A=B=0 on simplifie l’écriture en posant W = W(0,0,1,0) . 0t[]1°) Soit C : t → C(t)une fonction réelle définie et continue sur 0,1 on pose h(ot)= (C(x)− m)dxù ∫01m = C(x)dx montrer que h appartient à W et satisfait : ∫ 001 1 1 2 C(x)h′(x)dx = (C(x)− m)h′(x)dx = (C(x)− m) dx . ∫ ∫ ∫0 0 0 En déduire que si C vérifie la propriété : 1′ C(x)u (x)dx =0 pour toute fonction u de W , ∫ 00 alors C(t) = m pour tout t de []0,1 . t2°) Soit α :t→α(t) et β :t→β(t) deux fonctions réelles définies et continues sur []0,1 on pose A(.t)= α(x)dx ∫01′ Montrer que si (α(t)u(t) + β(t)u (t))dt = 0 pour toute fonction u de W ∫ 001 on a aussi (β(t) − A(t)) u′(t)dt = 0 pour toute fonction u de W ∫ 001 déduire du 1°) que β est de classe C sur []0,1 et vérifie : β′(t)=α(t)pour tout t de []0,1 . - II - 2 2 On désigne par L une fonction (x, y)→ L(x, y) de IR dans IR supposée de classe C . A l’aide de L on définit une application de W(0, A,1, B) dans IR en posant : 1 ℑ(p) = L(p(t), p′(t))dt pour p∈W(0, A,1, B). On suppose qu’il existe un maximum de ℑ sur ∫0W(0, A,1, B) réalisé ...