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I. S. F. A. _________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrices autorisées.
PRECISIONS Question 6 c : prendre= 10%. Question 6 e : se placer dans l’application numérique Question 8 b : se placer dans l’application numérique avec=10% et r= 6%.
2001-2002 _________
Concours d'Entrée _______________
OPTION B ur0,1 ,ql On notera dans la suiteΦla fonction de répartition de la loi Normale standard N(0,1) et, poα ∈] [αe quantile d’ordreαde cette loi défini parΦ(q )= α.Pour les applications numériques, on pourra utiliser la table de la α fonctionΦdonnée en annexe ainsi que les quantiles suivants : α0,975 0,99 0,995 0,999: 0,90 0,95  q: 1,2821,645 1,9602,326 2,5763,030 α Un assureur dispose au 31/12/(n-1) d’un portefeuille de K contrats d’assurance du type "temporaire décès d’un an" dont le capital assuré, exprimé en KF, est uniformément égal à C. Un tel contrat prévoit qu’en cas de décès de l’assuré entre le 1/1/n et le 31/12/n, l’assureur verse le capital C au bénéficiaire du contrat. Si, par contre, l’assuré survit au 31/12/n, l’assureur est quitte de tout versement. En contrepartie de cet engagement de l’assureur, chaque assuré lui verse au 31/12/(n-1) une "prime". On suppose, pour simplifier, que les K assurés du portefeuille ont la même probabilité p de décéder dans l'année et que les décès surviennentindépendamment les uns des autres. Ce problème est consacré à l'analyse technique au 1/1/n du portefeuille, l'horizon étant le 31/12/n. Dans les applications numériques, on prendra K=1000, C=100 et p=0,1. 1°)pas subir de perte ? (on Quelle prime devrait demander l'assureur à chaque assuré pour être certain de ne négligera les frais de l'assureur). ième 2°)contrat (1La variable aléatoire Vdésigne le versement de l'assureur au titre du kkK) . k V k a) Montrer quesuit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre. En déduire les moyenneE(V )et k C écart-typeV .appelé la "prime pure" du contrat.) estP E(V σ(Vk) dek o=k K b) On noteS=Vkla "charge sinistres" de l'assureur pour l'année n. K k=1 S K Montrer qu'un théorème classique, que l'on citera, conduit à la convergence en probabilité devers P quand o K K tend verset commenter ce résultat à la lumière de la question 1.
2001