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I. S. F. A. _________
2002-2003 _________
Concours d'Entrée _______________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2 21  Soit: (x,y)F(x,y)une application dedansclasse deC àsupport compact : c’est-à-dire il existe 2 un compactKdetel que si(x,y)n’appartient pas àK:F(x,y)=0. 2  Soitla fonction(F)dedansdéfinie par : 1FF(F)(x,y)=(x,y)+i(x,y) .   2xy   1°) Pour(x,y)(0, 0) onpasse en coordonnées polaires en posantx=cosθ,y=sinθ et G( ,θ)=F( cosθ, sinθ). Exprimer(F)(x,y)en coordonnées polaires c’est-à-dire en fonction de,θ, GG ( ,θ) et( ,θ) . ∂ρ∂θ 2 2 2°) Onnote(x,y)=x+yla norme euclidienne du vecteur(x,y)et pourε >01 (ε)=L(F)(x,y)dx dy. ∫∫(x,y)x+iy  Calculerlim (ε) . + ε→0 PROBLEME  SoitUun ouvert deetfune application deUdans; on dit quefest analytique surUsi pour tout point +∞ n deUexiste une série entière ila Z derayon de convergenceRpositif tel que pour tout strictementz deU0n n=0 +∞ n satisfaisantz<Ron aitf(z)=a(zz) . 0n0 n=0 1°) Montrerque sifest analytique surU:fest indéfiniment dérivable enzsurU. +∞ n Exprimeraen fonction def(ce qui prouve l’unicité de la sérieet dea Zest connu).dès que n0n0 n=0 +∞ n a(zz) s’appellele développement def.centré sur n0 0 n=0 1 2°) Montrerque la fonctionzest analytique surU=\ 0 . +∞ +∞ n n 3°) Onse donne une série entière de rayonR0 :a Z; pour<Rpose ( onz)=a z. Montrer n n n=0n=0 que la fonctiongest analytique sur le disque ouvert de centre 0 et de rayonREn déduire pour .<R la 0 +∞(n) g(0) (k)nk relation :g(z)=z (pourk). 0 0 (nk)! n=k 2002
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