ISFA 2002 2eme epreuve de mathematiques option a

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I. S. F. A. 2002-2003 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2 2 1 Soit F :(xy, )→F(x,y )une application de dans de classe C à support compact : c’est-à-dire il existe 2un compact K de tel que si (,xy) ...

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• Publié par: shura
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Extrait

I. S. F. A. _________

2002-2003 _________

Concours d'Entrée _______________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2 2 1  Soit : (x,y)→F(x,y) une application de  dans  classe deC àsupport compact : c’est-à-dire il existe 2 un compactKdetel que si (x,y) n’appartient pas àK: F(x,y)=0 . 2  Soitla fonction (F) de  dans  définie par : 1∂F∂F (F)(x,y)=(x,y)+i(x,y) .   2∂x∂y   1°) Pour (x,y)≠(0, 0)  onpasse en coordonnées polaires en posant x=cosθ , y=sinθ  et G( ,θ)=F( cosθ, sinθ) . Exprimer (F)(x,y) en coordonnées polaires c’est-à-dire en fonction de, θ , ∂G ∂G ( ,θ) et ( ,θ) . ∂ρ ∂θ 2 2 2°) Onnote (x,y)=x+yla norme euclidienne du vecteur (x,y) et pourε >0 1 ( ε ) = L(F)(x,y)dx dy. ∫∫ (x,y)>ε x + iy  Calculerlim (ε) . + ε→0 PROBLEME  SoitUun ouvert deetfune application deUdans; on dit quefest analytique surUsi pour tout point +∞ n deUexiste une série entière ila Z derayon de convergenceRpositif tel que pour tout strictementz deU ∑ 0n n=0 +∞ n satisfaisant−z<Ron aitf(z)=a(z−z) . ∑ 0n0 n=0 1°) Montrerque si f est analytique sur U : f est indéfiniment dérivable en z sur U . +∞ n Exprimeraen fonction def(ce qui prouve l’unicité de la sérieet dea Zest connu).dès que ∑ n0n0 n=0 +∞ n a(z−z) s’appellele développement def.centré sur ∑ n0 0 n=0 1 2°) Montrerque la fonctionz→est analytique surU=\ 0 . +∞ +∞ n n 3°) Onse donne une série entière de rayonR≠0 :a Z; pour<Rpose ( onz)=a z. Montrer ∑∑ n n n=0n=0 que la fonctiongest analytique sur le disque ouvert de centre 0 et de rayonREn déduire pour . < R la 0 +∞ (n) g(0) (k)n−k relation :g(z)=z (pourk∈). ∑ 0 0 (n−k)! n=k 2002