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ISFA 2004 1ere epreuve de mathematiques

3 pages
I. S. F. A. 2004-2005 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite PROBLEME I +On note E l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et définies sur R . 1Pour f ∈E on note Φ(f) la fonction définie pour x positif ou nul par Φ(f)(x) = f(xt)dt. ∫ 0PARTIE A : L’ENDOMORPHISME Φ : xf(u)du∫ 01°- Montrer que pour x strictement positif Φ(f)(x) peut s’écrire . x+*2°- Déduire que la fonction Φ(f) est continue et dérivable sur R et est continue en 0. 3°- Montrer que l’application Φ est un endomorphisme injectif de E. xsin(1/x) pour x > 0⎧4°- On donne la fonction h définie par : h( x ) = . ⎨h(00) =⎩La fonction h est elle un élément de l’image F de E par Φ ? Caractériser cette image. 5°- Montrer que tout réel λ ∈]0,1] est valeur propre de Φ . Donner les vecteurs propres associés. 6°- Soit n un entier naturel. On considère le sous espace vectoriel F de E engendré par les fonctions n{f ,..,f ; g ,…g } où les fonctions f et g sont définies par : 1 n 1 n i ii⎧f:x→=f(x) x⎪ii. ⎨ ig:xg(x) xlnx pour x non nul et g( 0)=0⎪⎩ i(i) Donner la dimension du sous espace F . n(ii) Montrer que la restriction Φ de Φ à F est un endomorphisme. Donner une matrice de Φ . n n n2(iii) Déterminer la fonction f de E telle que Φ(f)(x)=+(x x)lnx. PARTIE B : L’APPLICATION Φ ET PROPRIÉTES DE MONOTONIE 1°- Montrer que si ...
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I. S. F. A. _________
2004-2005 _________
 Concoursd'Entrée  _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite PROBLEME I + On noteEl’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et définies surR. 1 PourEon noteΦ( f )la fonction définie pourxpositif ou nul parΦx )( f )(=f ( xt )dt. 0 PARTIEA :L’ENDOMORPHISMEΦ: x ( u )du 0 1°- Montrer que pourxstrictement positifΦ( f )(x )peut s’écrire. +* 2°- Déduire que la fonctionΦ( f )est continue et dérivable surRet est continue en 0. 3°- Montrer que l’applicationΦest un endomorphisme injectif deE. x sin(1/ x)pourx>0 4°- On donne la fonctionhdéfinie par :h( x )=. h(0)=0 La fonction h est elle un élément de l’imageFdeEparΦ? Caractériser cette image. 5°- Montrer que tout réelλ0,1]est valeur propre deΦ. Donner les vecteurs propres associés. 6°- Soitn unentier naturel. On considère le sous espace vectorielFn deEpar les fonctions engendré {f1,..,fn; g1,…gn} où les fonctionsfietgisont définies par : i xf :f ( x)=x i i . i g :xg ( x)=xx lnpourxnon nul etg (0)=0 ii i (i)Donner la dimension du sous espaceFn. (ii)Montrer que la restrictionΦdeΦàFnest un endomorphisme. Donner une matrice deΦ. n n 2 (iii) Déterminer la fonctionf deE telle queΦ( f )(x )=( x+x )lnx.
PARTIEB :L’APPLICATIONΦMONOTONIEET PROPRIÉTES DE1°- Montrer que sifetgdeEvérifientf galorsΦ( f )( g ). 2°- Montrer que sifdeE estcroissante (respectivement décroissante) alorsΦ( f )est aussi une fonction croissante (respectivement décroissante). 3°- Montrer que sif deEest croissante (respectivement décroissante) alorsΦ( f )f (respectivement Φ( f )f)
2004