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I. S. F. A. _________
2004-2005 _________
 Concoursd'Entrée  _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite PROBLEME I + On noteEl’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et définies surR. 1 PourEon noteΦ( f )la fonction définie pourxpositif ou nul parΦx )( f )(=f ( xt )dt. 0 PARTIEA :L’ENDOMORPHISMEΦ: x ( u )du 0 1°- Montrer que pourxstrictement positifΦ( f )(x )peut s’écrire. +* 2°- Déduire que la fonctionΦ( f )est continue et dérivable surRet est continue en 0. 3°- Montrer que l’applicationΦest un endomorphisme injectif deE. x sin(1/ x)pourx>0 4°- On donne la fonctionhdéfinie par :h( x )=. h(0)=0 La fonction h est elle un élément de l’imageFdeEparΦ? Caractériser cette image. 5°- Montrer que tout réelλ0,1]est valeur propre deΦ. Donner les vecteurs propres associés. 6°- Soitn unentier naturel. On considère le sous espace vectorielFn deEpar les fonctions engendré {f1,..,fn; g1,…gn} où les fonctionsfietgisont définies par : i xf :f ( x)=x i i . i g :xg ( x)=xx lnpourxnon nul etg (0)=0 ii i (i)Donner la dimension du sous espaceFn. (ii)Montrer que la restrictionΦdeΦàFnest un endomorphisme. Donner une matrice deΦ. n n 2 (iii) Déterminer la fonctionf deE telle queΦ( f )(x )=( x+x )lnx.
PARTIEB :L’APPLICATIONΦMONOTONIEET PROPRIÉTES DE1°- Montrer que sifetgdeEvérifientf galorsΦ( f )( g ). 2°- Montrer que sifdeE estcroissante (respectivement décroissante) alorsΦ( f )est aussi une fonction croissante (respectivement décroissante). 3°- Montrer que sif deEest croissante (respectivement décroissante) alorsΦ( f )f (respectivement Φ( f )f)
2004