ISFA 2004 1ere epreuve de mathematiques

I. S. F. A. 2004-2005 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite PROBLEME I +On note E l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et définies sur R . 1Pour f ∈E on note Φ(f) la fonction définie pour x positif ou nul par Φ(f)(x) = f(xt)dt. ∫ 0PARTIE A : L’ENDOMORPHISME Φ : xf(u)du∫ 01°- Montrer que pour x strictement positif Φ(f)(x) peut s’écrire . x+*2°- Déduire que la fonction Φ(f) est continue et dérivable sur R et est continue en 0. 3°- Montrer que l’application Φ est un endomorphisme injectif de E. xsin(1/x) pour x > 0⎧4°- On donne la fonction h définie par : h( x ) = . ⎨h(00) =⎩La fonction h est elle un élément de l’image F de E par Φ ? Caractériser cette image. 5°- Montrer que tout réel λ ∈]0,1] est valeur propre de Φ . Donner les vecteurs propres associés. 6°- Soit n un entier naturel. On considère le sous espace vectoriel F de E engendré par les fonctions n{f ,..,f ; g ,…g } où les fonctions f et g sont définies par : 1 n 1 n i ii⎧f:x→=f(x) x⎪ii. ⎨ ig:xg(x) xlnx pour x non nul et g( 0)=0⎪⎩ i(i) Donner la dimension du sous espace F . n(ii) Montrer que la restriction Φ de Φ à F est un endomorphisme. Donner une matrice de Φ . n n n2(iii) Déterminer la fonction f de E telle que Φ(f)(x)=+(x x)lnx. PARTIE B : L’APPLICATION Φ ET PROPRIÉTES DE MONOTONIE 1°- Montrer que si ...