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ISFA 2005 2eme epreuve de mathematiques option a

4 pages
\\#\\\\ I. S. F. A. 2005-2006 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite OPTION A EXERCICE 1 Le but de cet exercice est le calcul des deux intégrales +∞ +∞dt dt−−ttCx==e cos xt et Sx e sin xt . () () () ()∫∫oo11) Etablir les relations : Cx''=−xSx− Sx () () ()21Sx=+xCx C x .() () ()212) En déduire que C et S sont deux fonctions, de classe C , vérifiant sur le système différentiel : ⎛⎞2⎧21++x ux' xux=−vx⎜⎟ () () ()⎪⎝⎠ ⎨221x vx' xvxux . () () ()⎪⎩22−+1tx2 ()x 12⎛⎞ e−t3) Montrer que la fonction Gx=+e dt dt est constante sur . Que vaut cette constante ? ()⎜⎟∫∫ 2oo⎝⎠ 1+ t()+∞ 2−tEn déduire la valeur de l’intégrale edt puis la valeur de C 0 . ()∫o4) Montrer que si αβx et x sont deux fonctions dérivables vérifiant sur : () ()2⎧21+αx '()xx=−β() ⎧α=0 π() ()⎪ ⎪ et ⎨ ⎨2β=00 .21+βx '=α() () () ⎪⎪ ⎩⎩22Alors α+xxβ =πpour tout x de . En faisant un changement de fonction inspirée par ce résultat, trouver () ()αβx et x . () ()5) Trouver Cx et Sxpour tout x réel. () ()PROBLEME k kn= ou pest muni de la structure euclidienne standard. On utilise les conventions usuelles du calcul ()⎡x ⎤1⎢ ⎥x2⎢ ⎥matriciel un vecteur x est écrit spontanément en colonne x = . Si on veut l’écrire en ligne, on écrit ⎢ ⎥⎢ ⎥x⎢ ⎥⎣ k ⎦T k TTx = xx,, …,x . De sorte que si y est un autre ...
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I. S. F. A. _________
20052006  _________
 Concoursd'Entrée  _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite OPTION A EXERCICE 1 Le but de cet exercice est le calcul des deux intégrales +∞ +∞ dt dt tt C(x)=ecos(xt) etS(x)=esin(xt). otot 1 1)Etabli : r les relationsC'(x)= −xS'(x)S(x)2 1 S'(x)=xC'(x)+C(x). 2 1 2)En déduire queCetSsont deux fonctions, de classeC, vérifiant sur\le système différentiel : ⎛ ⎞ 21+u'(x)+xu(x)=−v(x) 2 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 21+v'(x)+xv(x)=u(x). ⎝ ⎠ 2 2 1+t x 2( ) x21 ⎛ ⎞e t constante sur\. 3)Montrer que la fonctionG(x)=e dt+dtvaut cette constante ?est Que oo 2 ⎝ ⎠1+t ( ) +∞2 t En déduire la valeur de l’intégralee dtpuis la valeur deC(0). o 4)Montrer que siα( )etβ(x)sont deux fonctions dérivables vérifiant sur\: 2 0π 2 1+ α'(x)=−(x)α = ( )( )  et2 2 1+ β'(x)(x)β(0)=0 . ( )2 2 Alorsα(x)+(x)= πpour toutxde\. En faisant un changement de fonction inspirée par ce résultat, trouver α( )etβ(x). 5)TrouverC(x) etS(x)pour toutxréel. PROBLEME k \(k=noup)est muni de la structure euclidienne standard. On utilise les conventions usuelles du calcul ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ matriciel un vecteurx estécrit spontanément en colonnex=. Si on veut l’écrire en ligne, on écrit ⎢ ⎥ # ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ kTkT T , , ,calaire dexpar =(x1x2xk)sorte que si. Deyest un autre vecteur de\,y=y xdésigne le produit s T yet=x xla norme (euclidienne) du vecteurx.
2005
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