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I. S. F. A. _________
20052006  _________
 Concoursd'Entrée  _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite OPTION A EXERCICE 1 Le but de cet exercice est le calcul des deux intégrales +∞ +∞ dt dt tt C(x)=ecos(xt) etS(x)=esin(xt). otot 1 1)Etabli : r les relationsC'(x)= −xS'(x)S(x)2 1 S'(x)=xC'(x)+C(x). 2 1 2)En déduire queCetSsont deux fonctions, de classeC, vérifiant sur\le système différentiel : ⎛ ⎞ 21+u'(x)+xu(x)=−v(x) 2 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 21+v'(x)+xv(x)=u(x). ⎝ ⎠ 2 2 1+t x 2( ) x21 ⎛ ⎞e t constante sur\. 3)Montrer que la fonctionG(x)=e dt+dtvaut cette constante ?est Que oo 2 ⎝ ⎠1+t ( ) +∞2 t En déduire la valeur de l’intégralee dtpuis la valeur deC(0). o 4)Montrer que siα( )etβ(x)sont deux fonctions dérivables vérifiant sur\: 2 0π 2 1+ α'(x)=−(x)α = ( )( )  et2 2 1+ β'(x)(x)β(0)=0 . ( )2 2 Alorsα(x)+(x)= πpour toutxde\. En faisant un changement de fonction inspirée par ce résultat, trouver α( )etβ(x). 5)TrouverC(x) etS(x)pour toutxréel. PROBLEME k \(k=noup)est muni de la structure euclidienne standard. On utilise les conventions usuelles du calcul ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ matriciel un vecteurx estécrit spontanément en colonnex=. Si on veut l’écrire en ligne, on écrit ⎢ ⎥ # ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ kTkT T , , ,calaire dexpar =(x1x2xk)sorte que si. Deyest un autre vecteur de\,y=y xdésigne le produit s T yet=x xla norme (euclidienne) du vecteurx.
2005