ISFA 2005 2eme epreuve de mathematiques option a

\\#\\\\ I. S. F. A. 2005-2006 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite OPTION A EXERCICE 1 Le but de cet exercice est le calcul des deux intégrales +∞ +∞dt dt−−ttCx==e cos xt et Sx e sin xt . () () () ()∫∫oo11) Etablir les relations : Cx''=−xSx− Sx () () ()21Sx=+xCx C x .() () ()212) En déduire que C et S sont deux fonctions, de classe C , vérifiant sur le système différentiel : ⎛⎞2⎧21++x ux' xux=−vx⎜⎟ () () ()⎪⎝⎠ ⎨221x vx' xvxux . () () ()⎪⎩22−+1tx2 ()x 12⎛⎞ e−t3) Montrer que la fonction Gx=+e dt dt est constante sur . Que vaut cette constante ? ()⎜⎟∫∫ 2oo⎝⎠ 1+ t()+∞ 2−tEn déduire la valeur de l’intégrale edt puis la valeur de C 0 . ()∫o4) Montrer que si αβx et x sont deux fonctions dérivables vérifiant sur : () ()2⎧21+αx '()xx=−β() ⎧α=0 π() ()⎪ ⎪ et ⎨ ⎨2β=00 .21+βx '=α() () () ⎪⎪ ⎩⎩22Alors α+xxβ =πpour tout x de . En faisant un changement de fonction inspirée par ce résultat, trouver () ()αβx et x . () ()5) Trouver Cx et Sxpour tout x réel. () ()PROBLEME k kn= ou pest muni de la structure euclidienne standard. On utilise les conventions usuelles du calcul ()⎡x ⎤1⎢ ⎥x2⎢ ⎥matriciel un vecteur x est écrit spontanément en colonne x = . Si on veut l’écrire en ligne, on écrit ⎢ ⎥⎢ ⎥x⎢ ⎥⎣ k ⎦T k TTx = xx,, …,x . De sorte que si y est un autre ...