Les calculatricessont interdites. * * * NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclart´e,`alapre´cisioneta`laconcision delare´daction. Siuncandidatestamene´a`rep´erercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd’´enonce´,illesignalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´ete´amene´`aprendre. 1 ` Aproposdel’hypoth`ese«de classeCpar morceaux»`eor´ethdure-ocvnemed gencenormaled’unes´eriedeFourier... Pour toute fonctionf:R→Ron,carepnutixuaecromre´pedteiode2π, on associe ses coefficients Z 2π 1 −int deFourierexponentielsd´efinis,pourn∈Z, parcn(f) =f(t)edtet ses coefficients 2π 0 deFouriertrigonome´triquesde´finispar: Z Z 2π2π 1 1 ∗ an(f) =f(t) cos (nt) dt(pourn∈N) etbn(f) =f(t) sin (nt) dt(pourn∈N). π π 0 0 On pose, pour tout entier naturelplte´reeottux: p p PaP 0 inx Sp(f)(x) =cn(f)e(= +an(f) cos (nx) +bn(f) sin (nx)). 2 n=−p n=1 On rappelle lergveonecedemr`eo´htlaeonmrneec: 1 Sif:R→Rctioefonstunee2odpedeire´nocnunitπet de classeC´eriedeaexul,sapraomcr Fourier defconverge normalement vers la fonctionfsurR. Ainsi, la fonctionflasumedeiforteunemtsnyoˆpelotideesqurietm´nogoritseimil(Sp(f)) . p∈N Nousallons´etudiercequipeutseproduiresionenl`eve`acethe´ore`mel’hypoth`ese«de classe 1 Cpar morceaux». Unepremie`repartied´emontredesr´esultatspre´liminaires. 1 Unedeuxie`mepartietraited’unexempleou`,sansl’hypothe`se«de classeCpar morceaux», las´eriedeFourierpeutdiverger. Unetroisie`mepartierechercheuneconditionplusfaiblepourque,sansl’hypoth`ese«de classe 1 Cpar morceaux»reiaesrsemFˆoeumrqiueedlausr´eerpniuo,audnesdsqefconverge uni-forme´mentverslafonctionfsurR. I.R´esultatspr´eliminaires 1.me`ecodethleor´eroneelamrevncnegS,iadsnseusicd-uspp,snouelaoseqtionfoncf n’est pas continue mais seulement continue par morceaux surR:
1
a.r`eoh´etrllepeapRleirevncnegepytocedntdequelpr´ecisacilhtenemedeDeri s’agit. b.mesuitftoCrerrgveonecurpoceenlle-tiarnuerteˆeR? 2.Onc`drenoisnotclefanciotionenuϕ:R→Rped,ire´2edoπireetd´efiniepourap, √ x∈[0, π], parϕ(x) =x. Donner l’allure de la courbe de cette fonction et expliquer pourquoi elle n’est pas de 1 classeCpar morceaux surR. 3.The´or`emedeCes`aro Soit (un)n∈Nune suite de complexes qui converge vers le complexel. a.emedroe`hte´tnnulisanutint,elemeedsnoiatelerndioatmmso,refipmisJitsu n P comparaison, que :(uk−l) =o(nau voisinage de ++ 1)∞. k=0 u0+u1+. . .+un b.rgevonveerscreuielquuiastenEde´dl. n+ 1 4.Soit une fonctionf:R→Rtioncreip´tedee2eonduπdont la somme de Fourier de rangnot´eeestnSn(f). Pournd´onl,nuonlnretueFedemmosaltinfiej´erneitrean defde rangn,netoe´σn(fyomaenneeCedra`sesodmmsodeesurFoei:rmmle)oc 1 σn(f) =(S0(f) +S1(f) +. . .+Sn(f)). n+ 1 Onde´montre,et nous l’admettrons, let`rme´hoeej´eedeFr: «eu(srtqimoe´ginoestrnˆomapsoulyitedLeσn(frustneme´mrofiungeernvco))Rvers la fonction f». Une application: Sif:R→Reuniedtenoittnocnetuncfoesoied´pre2πtelle que la suite (Sn(f)) converge simplement surR, montrer que la suite (Sn(f)) converge vers la fonctionf. 5.Si (ununstuiesdeteeer´e)eunexist’ileerquonicqufstisipolsrtnom,0srevegrev suitedere´els(dnurtoutenleque,poerlitreanutanssette´e)doicrllunleteiledetimn, 06un6dnalusqreuuspti(epno(ap,arruolempxerefieri´e,v{uk, k>n}) convient). II.UnexempledeSe´riedeFourierdivergente(enunpoint) Onconsid`erelasuitedefonctions(fni’lrretnllav0[e)d´efiniessu, π] pour tout entier naturel h i 13x n non nulnpar :fn(x.sin 2+ 1) = 2 n2 P 6.sftonnocMtionlauerqredeieers´fnconverge normalement sur [0, π]. n>1 Ond´efinitalorslafonctionfntine,copair2eirdopee´eud,πsurRet telle que pour +∞ P toutre´elx∈[0, π],f(x) =fn(x). n=1 Z π 2k+ 1 7.On pose, pourpetkentiers naturels,Ip,k(= cospt) sintdtet, pourq 2 0 q P entier naturel,Tq,k=Ip,k. p=0 a.Calculer, pourpetkni’lge´truta,sletiensnerraleIp,k. b.Pourqetksranuteretneifitisoplee´runerinrmte´e,dlscktel queTq,k=ck+ k+q P1 ,etende´duireque,pourtoutcouple(q, k) d’entiers naturels,Tq,k>0. 2j+ 1 j=k−q
2
N P1 c.D´eterenimop,rruNau voisinage de +∞,ueq.n´eltniuaveledispm 2k+ 1 k=0 1 d.Ende´duireque,pourkau voisinage de +∞,Tk,k∼lnk. 2 +∞ 2P1 8.Montrer que, pourpentier naturel non nul,ap(f) =In−1. 3 2p,2 πn=1n −a0(f) 2 9.Montrer que, pourpentier naturel non nul,Sp−1(f)(0)>+Tp−1p−1 3 33 2 22,2 2πp N N P P a0a0 (on remarquera que :+ai=−+ai). 2 2 i=1i=0 Conclure que la suite (Sn(f)(0)) diverge. III.Fonctions`avariationborne´e,The´or`emedeJordan Pourdeuxr´eelsa < bon noteS[a,b]l’ensemble des subdivisions de l’intervalle [a, b]. Sifest une fonction de [a, b]→Retσ= (x0, x1, . . ., , xn)∈S[a,b], on note : n−1 P V(σ, f) =|f(xi+1)−f(xi)|. i=0 On dira que la fonctionfst`avariationboreeer´oslpifitee´nli’ssixenuetMtel que pour touteσ∈S[a,b], l’on ait :V(σ, f)6M. On appelle alorsvariation totaledefsur [a, btifion´t´reeplso]lee: V([a, b], f) =supV(σ, f). θ∈S [a,b] π 10.Montrer que la fonctionf: [0,1]→Reiape´nfidrf(0) = 0 etf(x) =xcos si 2x x6=tse0tnoceunin’ettpes`aasrivataoibnro´neeus[r0,1]. (on pourra choisirσ= (xkde [0) subdivision,1] :x0= 0,xn+1= 1 et 06k6n+1 1 ∀k∈ {1, . . ., n}, xk= ). 2 (n+ 1−k) 11.uxne´gare´mexEselp a.Montrer qu’une fonctionf: [a, b]→Re´nreiationboest`avaromonotenuqeits sur [a, brte,]´eprseciV([a, b], f). b.Montrer qu’une fonctionf: [a, b]→Rqui est somme de deux fonctions mono-tonesest`avariationborne´esur[a, b]. 1 c.Montrer qu’une fonction [a, b]→Rqui est continue et de classeCpar morceaux est`avariationborne´e. 12.Soit une fonctionf: [a, b]→R´neeus[rtaoibnro`arivaa, b], et soita < c < b. Montrer que chacune des restrictions defaux intervalles [a, c] et [c, bav]te`siaaronti borne´eetque:V([a, c], f) +V([c, b], f)6V([a, b], f). Remarque :emailit´eserscentulipasacrepeuoeunpomomeˆetm’uqrertnage´ayli proble`me. 13.Soitf:R→Rtionfoncune2deiore´pedteeunitnocπtelle que la restriction defa` l’intervalle [0,2π.ornbeen´iravoitaos]a`ti Pournentier relatif etNentier naturel, tous deux non nuls, on utilisera la subdivision σ= (xk)06k6|n|Nde [0,2πpoe,ur]´dfieinkentier compris entre 0 et|n|N, par : 2πk xk= . |n|N Pourkentier compris entre 1 et|n|N, on noteraVk(f) la variation totale defsur l’intervalle [xk−1, xk].