Mathématiques 1 2004 Classe Prepa MP Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 1 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

SESSION 2004

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ´ ´` EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP

´ MATHEMATIQUES 1

Dur´ee:4heures

Les calculatricessont interdites. * * * NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclart´e,`alapre´cisioneta`laconcision delare´daction. Siuncandidatestamene´a`rep´erercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd’´enonce´,illesignalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´ete´amene´`aprendre. 1 ` Aproposdel’hypoth`ese«de classeCpar morceaux»`eor´ethdure-ocvnemed gencenormaled’unes´eriedeFourier... Pour toute fonctionf:R→Ron,carepnutixuaecromre´pedteiode2π, on associe ses coefficients Z 2π 1 −int deFourierexponentielsd´efinis,pourn∈Z, parc n (f) =f(t)edtet ses coefficients 2π 0 deFouriertrigonome´triquesde´finispar: Z Z 2π2π 1 1 ∗ a n (f) =f(t) cos (nt) dt(pourn∈N) etb n (f) =f(t) sin (nt) dt(pourn∈N). π π 0 0 On pose, pour tout entier naturelplte´reeottux: p p P a P 0 inx S p (f)(x) =c n (f)e(= +a n (f) cos (nx) +b n (f) sin (nx)). 2 n=−p n =1 On rappelle lergveonecedemr`eo´htlaeonmrneec: 1 Sif:R→Rctioefonstunee2odpedeire´nocnunitπet de classeC´eriedeaexul,sapraomcr Fourier defconverge normalement vers la fonctionfsurR. Ainsi, la fonctionflasumedeiforteunemtsnyoˆpelotideesqurietm´nogoritseimil(S p (f)) . p∈N Nousallons´etudiercequipeutseproduiresionenl`eve`acethe´ore`mel’hypoth`ese«de classe 1 Cpar morceaux». Unepremie`repartied´emontredesr´esultatspre´liminaires. 1 Unedeuxie`mepartietraited’unexempleou`,sansl’hypothe`se«de classeCpar morceaux», las´eriedeFourierpeutdiverger. Unetroisie`mepartierechercheuneconditionplusfaiblepourque,sansl’hypoth`ese«de classe 1 Cpar morceaux»reiaesrsemFˆoeumrqiueedlausr´eerpniuo,audnesdsqefconverge uni- forme´mentverslafonctionfsurR. I.R´esultatspr´eliminaires 1.me`ecodethleor´eroneelamrevncnegS,iadsnseusicd-uspp,snouelaoseqtionfoncf n’est pas continue mais seulement continue par morceaux surR:

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a.r`eoh´etrllepeapRleirevncnegepytocedntdequelpr´ecisacilhtenemedeDeri s’agit. b.mesuitftoCrerrgveonecurpoceenlle-tiarnuerteˆeR? 2.Onc`drenoisnotclefanciotionenuϕ:R→Rped,ire´2edoπireetd´efiniepourap, √ x∈[0, π], parϕ(x) =x. Donner l’allure de la courbe de cette fonction et expliquer pourquoi elle n’est pas de 1 classeCpar morceaux surR. 3.The´or`emedeCes`aro Soit (u n ) n∈N une suite de complexes qui converge vers le complexel. a.emedroe`hte´tnnulisanutint,elemeedsnoiatelerndioatmmso,refipmisJitsu n P comparaison, que :(u k −l) =o(nau voisinage de ++ 1)∞. k=0   u 0 +u 1 +. . .+u n b.rgevonveerscreuielquuiastenEde´dl. n+ 1 4.Soit une fonctionf:R→Rtioncreip´tedee2eonduπdont la somme de Fourier de rangnot´eeestnS n (f). Pournd´onl,nuonlnretueFedemmosaltinfiej´erneitrean defde rangn,netoe´σ n (fyomaenneeCedra`sesodmmsodeesurFoei:rmmle)oc 1 σ n (f) =(S 0 (f) +S 1 (f) +. . .+S n (f)). n+ 1 Onde´montre,et nous l’admettrons, let`rme´hoeej´eedeFr: «eu(srtqimoe´ginoestrnˆomapsoulyitedLeσ n (frustneme´mrofiungeernvco))Rvers la fonction f». Une application: Sif:R→Reuniedtenoittnocnetuncfoesoied´pre2πtelle que la suite (S n (f)) converge simplement surR, montrer que la suite (S n (f)) converge vers la fonctionf. 5.Si (u n unstuiesdeteeer´e)eunexist’ileerquonicqufstisipolsrtnom,0srevegrev suitedere´els(d n urtoutenleque,poerlitreanutanssette´e)doicrllunleteiledetimn, 06u n 6d n alusqreuuspti(epno(ap,arruolempxerefieri´e,v{u k , k>n}) convient). II.UnexempledeSe´riedeFourierdivergente(enunpoint) Onconsid`erelasuitedefonctions(f n i’lrretnllav0[e)d´efiniessu, π] pour tout entier naturel h i 1 3 x n non nulnpar :f n (x.sin 2+ 1) = 2 n2 P 6.sftonnocMtionlauerqredeieers´f n converge normalement sur [0, π]. n>1 Ond´efinitalorslafonctionfntine,copair2eirdopee´eud,πsurRet telle que pour +∞ P toutre´elx∈[0, π],f(x) =f n (x). n=1 Z  π 2k+ 1 7.On pose, pourpetkentiers naturels,I p,k (= cospt) sintdtet, pourq 2 0 q P entier naturel,T q,k =I p,k . p=0 a.Calculer, pourpetkni’lge´truta,sletiensnerraleI p,k . b.Pourqetksranuteretneifitisoplee´runerinrmte´e,dlsc k tel queT q,k =c k + k+q P 1 ,etende´duireque,pourtoutcouple(q, k) d’entiers naturels,T q,k >0. 2j+ 1 j=k−q

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N P 1 c.D´eterenimop,rruNau voisinage de +∞,ueq.n´eltniuaveledispm 2k+ 1 k=0 1 d.Ende´duireque,pourkau voisinage de +∞,T k,k ∼lnk. 2 +∞ 2 P 1 8.Montrer que, pourpentier naturel non nul,a p (f) =I n−1 . 3 2 p,2 π n=1 n −a 0 (f) 2 9.Montrer que, pourpentier naturel non nul,S p−1 (f)(0)>+T p−1p−1 3 33 2 22,2 2πp N N P P a 0 a 0 (on remarquera que :+a i =−+a i ). 2 2 i=1i=0 Conclure que la suite (S n (f)(0)) diverge. III.Fonctions`avariationborne´e,The´or`emedeJordan Pourdeuxr´eelsa < bon noteS [a,b] l’ensemble des subdivisions de l’intervalle [a, b]. Sifest une fonction de [a, b]→Retσ= (x 0 , x 1 , . . ., , x n )∈S [a,b] , on note : n−1 P V(σ, f) =|f(x i+1 )−f(x i )|. i=0 On dira que la fonctionfst`avariationboreeer´oslpifitee´nli’ssixenuetMtel que pour touteσ∈S [a,b] , l’on ait :V(σ, f)6M. On appelle alorsvariation totaledefsur [a, btifion´t´reeplso]lee: V([a, b], f) =supV(σ, f). θ∈S [a,b]   π 10.Montrer que la fonctionf: [0,1]→Reiape´nfidrf(0) = 0 etf(x) =xcos si 2x x6=tse0tnoceunin’ettpes`aasrivataoibnro´neeus[r0,1]. (on pourra choisirσ= (x k de [0) subdivision,1] :x 0 = 0,x n+1 = 1 et 06k6n+1 1 ∀k∈ {1, . . ., n}, x k = ). 2 (n+ 1−k) 11.uxne´gare´mexEselp a.Montrer qu’une fonctionf: [a, b]→Re´nreiationboest`avaromonotenuqeits sur [a, brte,]´eprseciV([a, b], f). b.Montrer qu’une fonctionf: [a, b]→Rqui est somme de deux fonctions mono- tonesest`avariationborne´esur[a, b]. 1 c.Montrer qu’une fonction [a, b]→Rqui est continue et de classeCpar morceaux est`avariationborne´e. 12.Soit une fonctionf: [a, b]→R´neeus[rtaoibnro`arivaa, b], et soita < c < b. Montrer que chacune des restrictions defaux intervalles [a, c] et [c, bav]te`siaaronti borne´eetque:V([a, c], f) +V([c, b], f)6V([a, b], f). Remarque :emailit´eserscentulipasacrepeuoeunpomomeˆetm’uqrertnage´ayli proble`me. 13.Soitf:R→Rtionfoncune2deiore´pedteeunitnocπtelle que la restriction defa` l’intervalle [0,2π.ornbeen´iravoitaos]a`ti Pournentier relatif etNentier naturel, tous deux non nuls, on utilisera la subdivision σ= (x k ) 06k6|n|N de [0,2πpoe,ur]´dfieinkentier compris entre 0 et|n|N, par : 2πk x k = . |n|N Pourkentier compris entre 1 et|n|N, on noteraV k (f) la variation totale defsur l’intervalle [x k−1 , x k ].

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