Lescalculatricessontautorisees ? ? ?? NB.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportancealaclarte,alaprecisionetala concisiondelaredaction. Siuncandidatestameneareperercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’enonce,ille signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’ilaeteameneaprendre. Objet :LatransflompletiouunstreeiruoFednoitamroEneur.eni’ingdsleneecsnicyee plusd’ˆetrelineaire,elleveriedenombreusesproprietes.Nousnousproposonsd’enetablir quelques-unesennouslimitantaunespacevectorielparticulier. I.-Preliminaires ∞ On noteC(R,C) l’espace vectoriel surCtnninemiitnodsedseofcnntinues,nies,co derivablesdeRdansC. 2 ∞ t On notePle sous-espace vectoriel deC(R,C) des fonctionsfde la formef(t) =P(t)e ouPientscomplexes.ylopmoˆncaeceoeunst Pour toutnentier naturel, on notePn, le sous-espace vectoriel dePdes fonctionsfde la 2 t formef(t) =P(t)eouPreinferxieesudredegstocpmeloceicneˆoynametuesolnp ouegalan. I-1) Quelquesendomorphismes qui nous seront utiles ∞ SoientT,D,Ssapptroi,uaqsiuitnoilacontincfonefdeC(R,C) associent respec-tivement les fonctions suivantes : T(f) =gavec pour toutterelg(t) =tf(t) 0 D(f) =f S(f) =havec pour touttleerh(t) =f(t) Montrer que les applicationsT,D,Snucaenueessihctndneismedendomorph ∞ C(R,C). 1 Montrer queSest un automorphisme. DonnerS. I-2)Etudedesintegralesutilisees Z +∞ 2 t a)Justier l’existence deJ=e dt. ∞ √ Denombreusesmethodespermettentd’obtenirJ=. On l’admettra. Z +∞ 2 t Endeduirelavaleurde:e dt. ∞
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Z +∞ b)Pour toute fonctionfdeP, justier la convergence absolue def(t)dt. ∞ c)Pour toutup,uotruorelentfonctiofdeP, justier la convergence absolue de Z +∞ 2iut f(t)e dt. ∞ I-3)DenitiondelatransformationdeFourier(noteeici) Soituqnoitactuota,ilipp’alfdePassocie si elle existe la fonction(f) =deR dansCiretna:v Z +∞ 2iut pour toutueelr(u) =f(t)e dt. ∞ VerierqueuresniedenibtseP, puis montrer quecationliuneapplietsaen.eri II.-Deuxformulespourl’applicationlineaire On conservera par la suite les notations suivantes : 2 t feunemltdenePnerapi:,df(t) =P(t)epour touttreel Z +∞ 2iut Son image par:=(fpeined):ar(u) =f(t)e dtpour toutu.eelr ∞ II-1)Premiereformule 0 Justierladerivabilitede, calculer(u) et montrer que dansPon a : 0 =2i(g) avecg(t) =tf(t) quel’onpeutecriredefaconplusformelle D=2i(T) formule que l’on notera (1) 0 En remarquant queest l’image d’une fonction dePriudeuqe,endeest inniment ∞ derivableetestdoncunelementdeC(R,C). II-2)Deuxiemeformule Paruneintegrationparparties,montrerquedansPon a : Z +∞ 0 02iut (f) =1avec1(u) =f(t)e dt= 2iu(u) ∞ quel’onpeutecriredefaconplusformelle D= 2i(T) formule que l’on notera (2) III. -est un endomorphisme III-1)Pour toutkentier naturel, on notebktauouqitlaontincfotiessoceealrbk(t) = 2 kt t e. Pour toutn(leilamafelerdsicnnoleo,tarueinrentbk)06k6n, justier que celle-ci constitue une base dePn. On pose(bk) =Bk. 0 III-2)Donner l’ensembleSG(reidnoelleitnesdeltionuati’eqosuldseE) :f(t)+2tf(t) = 0 1 sifest une fonction deRdansCde classeC. III-3)eriuerqeVb0denetsmeneteulSGiendlequtielerenlueeocot,nidnoitaleralre en utilisant les endomorphismesDetTationdireunerelllveeireertneieedneiude, parB0, puis montrer l’existence d’une constante complexetelle que, pour toutu 2 u reel,B0(u) =e. ExprimerB00(s)uofsromed’uneintegraleeetdneudrilevaaleurde. III-4)Pour toutkentier naturel non nul, on a la relationbk=T(bk1). CalculerB1,B2, B3iup,rertnomscuerrpaquceenrreBk=(bk)estuneelmenedtPk.nEduiedre que pour toutnentier naturel non nul, sifuneestenedtlmePnmeˆeemtdesline, de(f). Montrer alors quehirpedsmeedtinnenuomodP.
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IV. -Etude en dimension4 Soitnun entier naturel. On noteSnl’endomorphisme dePntel queSn(f) =S(f) etnl’endomorphisme dePn tel quen(f) =(f). IV-1)Ecrire les matrices de3etS3dans la base (b0, b1, b2, b3) deP3. IV-2)Expliciter33en fonction deS3ireqeduE.dnue3erinrmestilbisrevnetedtee son inverse. V. -est bijectif. Quel est son inverse? 2 Pour tout endomorphismeA, on noteA=AA, et pour toutmentier naturel non nul m m1m1 0 A=AA=AAavec la conventionA=Iitnodineitteiuqrperseeelntpp’acali surP. (j) (j) iemej der r naturel, on noteb0lajcb=D(b0) (on Pour toutjdeevieentieb0, on a don0 (0) poserab=b0). 0 (0) V-1)Pour toutjentier naturel non nul, exprimer(b) en fonction deb0et deT, puis 0 en fonction debj. k V-2)Pour toutkentier naturel non nul, on a la relationbk=T(bk1) =T(b0exprimer) ; (k) eb0et deD, puis en f. (bk) en fonction donction deb0 2 V-3)Exprimer alors(bk.E)endirduequeest bijectif, justier les deux formules sui-vantes : 1 =Set=S=S. CettederniererelationnouspermettraparlasuitedepermuterSet. 1 3 V-4)Montrer que=. VI. -Valeurs propres et vecteurs propres de3 VI-1)Detenimrelrealsvrseuopprsdrelee’dnmorohpsiem3; cet endomorphisme est-il diagonalisable ? VI-2)asedunebinertermeDeP3sdreerseuopprevtceeedromf3. 2 t VI-3)Soit la fonctionfdeRdansRuotdeinpeuotrtreeplra:f(t) =P(t)e, avec 2 3 P(t) = 1 +t+t. Decomposerfetasuvroandabslnte.ederecoipneutslaqaee