Mathématiques 1 2004 Classe Prepa TSI Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

Description

Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 1 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2004

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
• Nombre de lectures: 59
• Langue: Français

Extrait

CCP TSI 2004 Maths 1

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 1

Duree:4heures

page 1

Lescalculatricessontautorisees ? ? ?? NB.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportancealaclarte,alaprecisionetala concisiondelaredaction. Siuncandidatestameneareperercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’enonce,ille signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’ilaeteameneaprendre. Objet :LatransflompletiouunstreeiruoFednoitamroEneur.eni’ingdsleneecsnicyee plusd’ˆetrelineaire,elleveriedenombreusesproprietes.Nousnousproposonsd’enetablir quelques-unesennouslimitantaunespacevectorielparticulier. I.-Preliminaires ∞ On noteC(R,C) l’espace vectoriel surCtnninemiitnodsedseofcnntinues,nies,co derivablesdeRdansC. 2 ∞ t On notePle sous-espace vectoriel deC(R,C) des fonctionsfde la formef(t) =P(t)e ouPientscomplexes.ylopmoˆncaeceoeunst Pour toutnentier naturel, on noteP n , le sous-espace vectoriel dePdes fonctionsfde la 2 t formef(t) =P(t)eouPreinferxieesudredegstocpmeloceicneˆoynametuesolnp ouegalan. I-1) Quelquesendomorphismes qui nous seront utiles ∞ SoientT,D,Ssapptroi,uaqsiuitnoilacontincfonefdeC(R,C) associent respec- tivement les fonctions suivantes : T(f) =gavec pour toutterelg(t) =tf(t) 0 D(f) =f S(f) =havec pour touttleerh(t) =f(t) Montrer que les applicationsT,D,Snucaenueessihctndneismedendomorph ∞ C(R,C). 1 Montrer queSest un automorphisme. DonnerS.  I-2)Etudedesintegralesutilisees Z +∞ 2 t a)Justier l’existence deJ=e dt. ∞ √ Denombreusesmethodespermettentd’obtenirJ=. On l’admettra. Z +∞ 2 t Endeduirelavaleurde:e dt. ∞

CCP TSI 2004 Maths 1

page 2

Z +∞ b)Pour toute fonctionfdeP, justier la convergence absolue def(t)dt. ∞ c)Pour toutup,uotruorelentfonctiofdeP, justier la convergence absolue de Z +∞ 2iut f(t)e dt. ∞ I-3)DenitiondelatransformationdeFourier(noteeici) Soituqnoitactuota,ilipp’alfdePassocie si elle existe la fonction(f) =deR dansCiretna:v Z +∞ 2iut pour toutueelr(u) =f(t)e dt. ∞ VerierqueuresniedenibtseP, puis montrer quecationliuneapplietsaen.eri II.-Deuxformulespourl’applicationlineaire On conservera par la suite les notations suivantes : 2 t feunemltdenePnerapi:,df(t) =P(t)epour touttreel Z +∞ 2iut Son image par:=(fpeined):ar(u) =f(t)e dtpour toutu.eelr ∞ II-1)Premiereformule 0 Justierladerivabilitede, calculer(u) et montrer que dansPon a : 0 =2i(g) avecg(t) =tf(t) quel’onpeutecriredefaconplusformelle D=2i(T) formule que l’on notera (1) 0 En remarquant queest l’image d’une fonction dePriudeuqe,endeest inniment ∞ derivableetestdoncunelementdeC(R,C). II-2)Deuxiemeformule Paruneintegrationparparties,montrerquedansPon a : Z +∞ 0 02iut (f) = 1 avec 1 (u) =f(t)e dt= 2iu(u) ∞ quel’onpeutecriredefaconplusformelle D= 2i(T) formule que l’on notera (2) III. -est un endomorphisme III-1)Pour toutkentier naturel, on noteb k tauouqitlaontincfotiessoceealrb k (t) = 2 kt t e. Pour toutn(leilamafelerdsicnnoleo,tarueinrentb k ) 06k6n , justier que celle-ci constitue une base deP n . On pose(b k ) =B k . 0 III-2)Donner l’ensembleSG(reidnoelleitnesdeltionuati’eqosuldseE) :f(t)+2tf(t) = 0 1 sifest une fonction deRdansCde classeC. III-3)eriuerqeVb 0 denetsmeneteulSGiendlequtielerenlueeocot,nidnoitaleralre en utilisant les endomorphismesDetTationdireunerelllveeireertneieedneiude, parB 0 , puis montrer l’existence d’une constante complexetelle que, pour toutu 2 u reel,B 0 (u) =e. ExprimerB 0 0(s)uofsromed’uneintegraleeetdneudrilevaaleurde. III-4)Pour toutkentier naturel non nul, on a la relationb k =T(b k1 ). CalculerB 1 ,B 2 , B 3 iup,rertnomscuerrpaquceenrreB k =(b k )estuneelmenedtP k .nEduiedre que pour toutnentier naturel non nul, sifuneestenedtlmeP n meˆeemtdesline, de(f). Montrer alors quehirpedsmeedtinnenuomodP.

CCP TSI 2004 Maths 1

page 3

 IV. -Etude en dimension4 Soitnun entier naturel. On noteS n l’endomorphisme deP n tel queS n (f) =S(f) et n l’endomorphisme deP n tel que n (f) =(f).  IV-1)Ecrire les matrices de 3 etS 3 dans la base (b 0 , b 1 , b 2 , b 3 ) deP 3 . IV-2)Expliciter 3  3 en fonction deS 3 ireqeduE.dnue 3 erinrmestilbisrevnetedtee son inverse. V. -est bijectif. Quel est son inverse? 2 Pour tout endomorphismeA, on noteA=AA, et pour toutmentier naturel non nul m m1m1 0 A=AA=AAavec la conventionA=Iitnodineitteiuqrperseeelntpp’acali surP. (j) (j) ieme j der r naturel, on noteb 0 lajcb=D(b 0 ) (on Pour toutjdeevieentieb 0 , on a don 0 (0) poserab=b 0 ). 0 (0) V-1)Pour toutjentier naturel non nul, exprimer(b) en fonction deb 0 et deT, puis 0 en fonction deb j . k V-2)Pour toutkentier naturel non nul, on a la relationb k =T(b k1 ) =T(b 0 exprimer) ; (k) eb 0 et deD, puis en f. (b k ) en fonction donction deb 0 2 V-3)Exprimer alors(b k .E)endirduequeest bijectif, justier les deux formules sui- vantes : 1 =Set=S=S. CettederniererelationnouspermettraparlasuitedepermuterSet. 1 3 V-4)Montrer que=. VI. -Valeurs propres et vecteurs propres de 3 VI-1)Detenimrelrealsvrseuopprsdrelee’dnmorohpsiem 3 ; cet endomorphisme est-il diagonalisable ? VI-2)asedunebinertermeDeP 3 sdreerseuopprevtceeedromf 3 . 2 t VI-3)Soit la fonctionfdeRdansRuotdeinpeuotrtreeplra:f(t) =P(t)e, avec 2 3 P(t) = 1 +t+t. Decomposerfetasuvroandabslnte.ederecoipneutslaqaee

Findel’enonce