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Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (ECE) EDHEC Lille

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Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.
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EDHEC School of management
ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours dadmission sur classes préparatoires
MATHEMATIQUES Option économique Année 1999
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
EXERCICE 1 0 1 1a2a1 a1 1a B C SoitaOn considère la matriceun réel positif ou nul.A(a) = @ A 0 0a1 0 01 0 1. MontrerqueA(0)admet1et1comme seules valeurs propres. Donner les sous-espaces propres correspondants. Dans la suite, on supposea >0: 2. Montrerque les valeurs propres deA(a)sont les réelssolutions de lune des équations :
2 22 = (a1)et+a+ 1 = 0:
(a) Déduirede la question précédente la valeur deapour laquelleA(a)nest pas inversible. (b) Pourcette valeur, dire siA(a)est diagonalisable.
3. Onsuppose dans cette question quea >2:
(a) MontrerqueA(a)possède4valeurs propres distinctes deux à deux. (b) Endéduire queA(a)est diagonalisable.
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EXERCICE 2 Pour tout réela, on considère la fonctionfadeRRdansR, dénie par :   2y 8(x; y)2RR; fa(x; y1 +) =y+xy+ax e
Partie 1 :étude des extrema defa 1 Dans cette partie, on supposea6= 0eta6=2
1. (a)Calculer les dérivées partielles premières defa: (b) Endéduire quefapossède deux points critiques (cest-à-dire des couples deRRen lesquelsfaest susceptible de présenter un extremum local) et donner leurs coordonnées.
2. Calculerles dérivées partielles secondes defa:
(a) Examiner,pour chacun des deux points critiques, à quelle condition portant sura,faprésente en ces points un extremum local. (b) Déterminer,en distinguant trois cas, sifaprésente surRRun maximum local ou un minimum local et donner sa valeur en fonction dea:
Partie 2 :étude dun fonction dénie à laide defa x Z y 1. (a)Pour tout réelxet pour tout réeltinférieur àx, calculere dy: t x Z y En déduire que lintégraleI=e dyconverge et donner sa valeur. 1 Z x y (b) Pourtout réelx, montrer grâce à une intégration par parties, que lintégraleJ=ye dyconverge 1 et donner sa valeur.
2. (a)Déduire des deux questions précédentes que lon dénit bien une fonctionFadeRdansR, en posant : x Z Fa(x) =fa(x; y)dy: 1
(b) Aprèsavoir écritFa(x)en fonction deaet dex, donner le tableau de variation deFa: ( On distinguera les trois cas :a=1; a<1eta >1)
EXERCICE 3 SoientX; YetZtrois variables aléatoires mutuellement indépendantes et dénies sur le même espace probabilisé (;A; P):On suppose queX; YetZsuivent la loiU( cest-à-dire que :8k2[j1; nj]; P(X=k) =P(Y=k) = [j1;nj] 1 P(Z=k) =). n k1 1. (a)Montrer que :8k2[j2; n+ 1j]; P(X+Y=k) =: 2 n 2nk+ 1 (b) Montrerque :8k2[jn+ 2;2nj]; P(X+Y=k) =: 2 n
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2. Utiliserla formule des probabilités totales pour déduire de la première question que : n1 P(X+Y=Z) =: 2 2n (a) Montrerque la variable aléatoireT=n+ 1Zsuit la loiU. [j1;nj] (b) PourquoiTest-elle indépendante deXet deY? (c) En faisant intervenir la variableTet en untilisant la deuxième question, déterminer la probabilité P(X+Y+Z=n+ 1):
PROBLEME Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Partie 1 n X 1 On pose, pour toutnélément deN; un=: p p=1 p+1 Z dt1 1. (a)Montrer que :8p2N;>: t p+ 1 p (b) Endéduire que :8n2N; un61 + ln (n): '(0) = 0 1 2. Onconsidère la fonction'dénie surR+par : 1 '(x) =x(1 + ln (x))six >0 1 trer que'est Mon1continue surR+: 3. Pourtout réelxpositif et pour tout entier naturelnnon nul, on pose : x Z '(x) ='(t)dt n+1n 0 (On rappelle que'a été dinié à la question 2). 1 (a) Montrerque, pour toutnélément deN, la fonction'est parfaitement dénie et continue surR+. n Que vaut'(0)? n (b) Vérierquil esxiste deux suites(an)et(bn)telles que : n2Nn2N  n ' 8n2N;8x2R+;n(x) =x(an+bnlnx): anbnbn On montrera que :8n2N; an+1=etbn+1= 2 n+ 1n+ 1 (n+ 1) 4. Ecrireun programme en Turbo Pascal qui calcule et a¢ che lesnpremiers termes de chacune des suites(an) et(bn)pour une valeur denentrée par lutilisateur. 5. Calculerb : n Pour toutnélément deN, on pose :cn=n!an: (a) Montrerquecn= 2un: (b) Endéduire que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 :jcnj61 + ln (n): (c) Conclurequeliman= 0: n!+1 (d) Montrerenn que la série de terme généralanest absolument convergente.
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Partie 2 On considère les fonctionse1; e2; e3ete4dénies par : 2 2 8x2R; e(x) =x; e(x) + 12=ex ;3(x) =xln (x)ete4(x) =xln (x) On noteElespace vectoriel engendré pare1; e2; e3ete4: 1. Onsuppose dans cette question quea; b; cetdsont 4 réels tels que : 2 2 8x2R; ax+bx+cxln (x) +dxln (x) = 0: + (a) Montrerquea+b= 0: (b) Etablirque : a bc 8x >1;+ ++d= 0: xln (x() lnx)x En déduire qued= 0: (c) Etablirensuite que : aln (x) 8x2R;+b+c= 0: + x x En déduire queb= 0: (d) Montrernalement quea=b=c=d= 0:
2. (a)Déduire de la question précédente que(e1; e2; e3; e4)est une famille libre. (b) Montrerque(e1; e2; e3; e4)est une base deE: 3. Onnoteulapplication qui à toute fonctionfdeEassocie la fonctiong=u(f)dénie par :  0 8x2R; g(x) =xf(x): + (a) Montrerqueuest une application linéaire. (b) Détermineru(e1); u(e2); u(e3)etu(e4): (c) Endéduire queuest un endomorphisme deE:
4. (a)Donner la matriceAdeudans la base(e1; e2; e3; e4): (b) Montrerqueuest un automorphisme deE:
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