Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (ECE) EDHEC Lille

Description

Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 1999

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 386
• Langue: Français

Extrait

EDHEC School of management

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours dadmission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES Option économique Année 1999

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

EXERCICE 1 0 1 1a2a1 a1 1a B C SoitaOn considère la matriceun réel positif ou nul.A(a) = @ A 0 0a1 0 01 0 1. MontrerqueA(0)admet1et1comme seules valeurs propres. Donner les sous-espaces propres correspondants. Dans la suite, on supposea >0: 2. Montrerque les valeurs propres deA(a)sont les réelssolutions de lune des équations :

2 2 2 = (a1)et+a+ 1 = 0:

(a) Déduirede la question précédente la valeur deapour laquelleA(a)nest pas inversible. (b) Pourcette valeur, dire siA(a)est diagonalisable.

3. Onsuppose dans cette question quea >2:

(a) MontrerqueA(a)possède4valeurs propres distinctes deux à deux. (b) Endéduire queA(a)est diagonalisable.

1/4

EXERCICE 2 Pour tout réela, on considère la fonctionf a deRRdansR, dénie par :   2y 8(x; y)2RR; f a (x; y1 +) =y+xy+ax e

Partie 1 :étude des extrema def a 1 Dans cette partie, on supposea6= 0eta6= 2

1. (a)Calculer les dérivées partielles premières def a : (b) Endéduire quef a possède deux points critiques (cest-à-dire des couples deRRen lesquelsf a est susceptible de présenter un extremum local) et donner leurs coordonnées.

2. Calculerles dérivées partielles secondes def a :

(a) Examiner,pour chacun des deux points critiques, à quelle condition portant sura,f a présente en ces points un extremum local. (b) Déterminer,en distinguant trois cas, sif a présente surRRun maximum local ou un minimum local et donner sa valeur en fonction dea:

Partie 2 :étude dun fonction dénie à laide def a x Z y 1. (a)Pour tout réelxet pour tout réeltinférieur àx, calculere dy: t x Z y En déduire que lintégraleI=e dyconverge et donner sa valeur. 1 Z x y (b) Pourtout réelx, montrer grâce à une intégration par parties, que lintégraleJ=ye dyconverge 1 et donner sa valeur.

2. (a)Déduire des deux questions précédentes que lon dénit bien une fonctionF a deRdansR, en posant : x Z F a (x) =f a (x; y)dy: 1

(b) Aprèsavoir écritF a (x)en fonction deaet dex, donner le tableau de variation deF a : ( On distinguera les trois cas :a=1; a<1eta >1)

EXERCICE 3 SoientX; YetZtrois variables aléatoires mutuellement indépendantes et dénies sur le même espace probabilisé (;A; P):On suppose queX; YetZsuivent la loiU( cest-à-dire que :8k2[j1; nj]; P(X=k) =P(Y=k) = [j1;nj] 1 P(Z=k) =). n k1 1. (a)Montrer que :8k2[j2; n+ 1j]; P(X+Y=k) =: 2 n 2nk+ 1 (b) Montrerque :8k2[jn+ 2;2nj]; P(X+Y=k) =: 2 n

2/4

2. Utiliserla formule des probabilités totales pour déduire de la première question que : n1 P(X+Y=Z) =: 2 2n (a) Montrerque la variable aléatoireT=n+ 1Zsuit la loiU. [j1;nj] (b) PourquoiTest-elle indépendante deXet deY? (c) En faisant intervenir la variableTet en untilisant la deuxième question, déterminer la probabilité P(X+Y+Z=n+ 1):

PROBLEME Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 n X 1  On pose, pour toutnélément deN; u n =: p p=1 p+1 Z dt1  1. (a)Montrer que :8p2N;>: t p+ 1 p  (b) Endéduire que :8n2N; u n 61 + ln (n):  '(0) = 0 1 2. Onconsidère la fonction'dénie surR + par : 1 '(x) =x(1 + ln (x))six >0 1 trer que'est Mon 1 continue surR + : 3. Pourtout réelxpositif et pour tout entier naturelnnon nul, on pose : x Z '(x) ='(t)dt n+1n 0 (On rappelle que'a été dinié à la question 2). 1  (a) Montrerque, pour toutnélément deN, la fonction'est parfaitement dénie et continue surR + . n Que vaut'(0)? n (b) Vérierquil esxiste deux suites(a n )  et(b n )  telles que : n2Nn2N   n ' 8n2N;8x2R + ; n (x) =x(a n +b n lnx): a n b n b n  On montrera que :8n2N; a n+1 =etb n+1 = 2 n+ 1n+ 1 (n+ 1) 4. Ecrireun programme en Turbo Pascal qui calcule et a¢ che lesnpremiers termes de chacune des suites(a n ) et(b n )pour une valeur denentrée par lutilisateur. 5. Calculerb : n  Pour toutnélément deN, on pose :c n =n!a n : (a) Montrerquec n = 2u n : (b) Endéduire que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 :jc n j61 + ln (n): (c) Conclurequelima n = 0: n!+1 (d) Montrerenn que la série de terme générala n est absolument convergente.

3/4

Partie 2 On considère les fonctionse 1 ; e 2 ; e 3 ete 4 dénies par :  2 2 8x2R; e(x) =x; e(x) + 12 =ex ; 3 (x) =xln (x)ete 4 (x) =xln (x) On noteElespace vectoriel engendré pare 1 ; e 2 ; e 3 ete 4 : 1. Onsuppose dans cette question quea; b; cetdsont 4 réels tels que :  2 2 8x2R; ax+bx+cxln (x) +dxln (x) = 0: + (a) Montrerquea+b= 0: (b) Etablirque : a bc 8x >1;+ ++d= 0: xln (x() lnx)x En déduire qued= 0: (c) Etablirensuite que : aln (x)  8x2R;+b+c= 0: + x x En déduire queb= 0: (d) Montrernalement quea=b=c=d= 0:

2. (a)Déduire de la question précédente que(e 1 ; e 2 ; e 3 ; e 4 )est une famille libre. (b) Montrerque(e 1 ; e 2 ; e 3 ; e 4 )est une base deE: 3. Onnoteulapplication qui à toute fonctionfdeEassocie la fonctiong=u(f)dénie par :  0 8x2R; g(x) =xf(x): + (a) Montrerqueuest une application linéaire. (b) Détermineru(e 1 ); u(e 2 ); u(e 3 )etu(e 4 ): (c) Endéduire queuest un endomorphisme deE:

4. (a)Donner la matriceAdeudans la base(e 1 ; e 2 ; e 3 ; e 4 ): (b) Montrerqueuest un automorphisme deE:

4/4