Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Exercice 1 R2 n Pour tout entier natureln, on note :wn= cost dt. 0 1. Calculerw0etw1. 2. Montrerque la suite(un)n2Nest décroissante. 3. Montrerpour tout entier natureln:wn>0. En déduire que la suite(wn)n2Nest convergente. 4. Soitn2N. Alaide dune intégration par parties, montrer que: Z2 n2 wn+2= (n+ 1)costsint dt 0 n+ 1 En déduire :w=w. n+2n n+ 2 5. Montrerpour tout entier natureln, en utilisant2.et4.: n+ 1 0< wn6wn+16wn n+ 2
En déduire :wn+1wnquandn!+1. 6. Montrer,en utilisant4., que la suite(u)de terme généralu= (n+ 1)w west constante. n n2Nnn n+1 r En déduire :wnquandn!+1. 2n
1/3
Exercice 2 On considère les éléments suivants deM3(R): 0 10 10 10 1 1 0 00 1 00 0 111 1 p p @ A@ A@ A@ A I= 01 0J0 1= 1K= 01 0P=2 02 0 0 10 1 01 0 01 11 1. (a)Justier (sans calcul) queJest diagonalisable, queJnest pas inversible, et que0est valeur propre deJ. 2 2 (b) CalculerJet exprimerJen fonction deIetK.
(a) Calculerles valeurs propres deJet déterminer une base deM3;1(R)formée de vecteurs propres pourJ. 1 En déduire quePP Jest une matrice diagonale que lon explicitera. 1 (b) Montrer,en utilisant1.b.et2.a.queP KPest une matrice diagonale que lon explicitera.
3 2. Soit(a; b; c)2R. Onconsidère lélément suivant deM3(R): 0 1 a b c @ A M=b a+c b c b a
(a) MontrerqueMsexprime simplement à laide deI; J; Keta; b; c. 1 (b) Endéduire queP MPest une matrice diagonale que lon explicitera.
Exercice 3 La lettrecdésigne un entier naturel non nul xé. Une urne contient initialement des boules blanches et des boules rouges, toutes indiscernables au toucher. On e¤ectue des tirages successifs dune boule dans lurne selon le protocole suivant:après chaque tirage, la boule tirée est remise dans lurne et on rajoute dans lurne, avant le tirage suivant,cboules de la couleur qui vient dêtre tirée. 1. Danscette question, on suppose que lurne contient initialementbboules blanches etrboules rouges, oùb,rsont des entiers naturels non nuls.
(a) Quelleest la probabilité dobtenir une boule blanche au premier tirage? (b) Quelleest la probabilité dobtenir une boule blanche au deuxième tirage? (c) Sila deuxième boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la première boule tirée ait été blanche?
2. Pourtous entiers naturels non nulsn,x,y, on noteun(x; y)la probabilité dobtenir une boule blanche eme auntirage, lorsque lurne contient initialementxboules blanches etyboules rouges.
2/3
(a) Montrer, en utilisant un système complet dévènements associé au premier tirage, que, pour tous entiers naturels non nulsn,x,y, on a: x y u(x; y) =u(x+c; y) +u(x; y+c) n+1n n x+y x+y
(b) Endéduire, par récurrence, que, pour tous entiers naturels non nulsn,x,y, on a: x un(x; y) = x+y
3. Dans cette question, on suppose que lurne contient initialement une boule blanche et une boule rouge et quec= 1tout entier naturel non nul. Poourn, on noteXnla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues au cours desnpremiers tirages.
(a) Donnerla loi deX1. (b) Donnerla loi deX2. (c) Montrerpar récurrence, queXnsuit une loi uniforme dont on donnera lespérance et la variance. - FIN -