Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (ECE) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 1999

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 395
• Langue: Français

Extrait

Programme ESC dE.M.LYON

CONCOURS DENTREE 1999

MATHEMATIQUES

1ère épreuve (option économique)

Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Exercice 1  R 2 n Pour tout entier natureln, on note :w n = cost dt. 0 1. Calculerw 0 etw 1 . 2. Montrerque la suite(u n ) n2N est décroissante. 3. Montrerpour tout entier natureln:w n >0. En déduire que la suite(w n ) n2N est convergente. 4. Soitn2N. Alaide dune intégration par parties, montrer que:  Z 2 n2 w n+2 = (n+ 1)costsint dt 0 n+ 1 En déduire :w=w. n+2n n+ 2 5. Montrerpour tout entier natureln, en utilisant2.et4.: n+ 1 0< w n 6w n+1 6w n n+ 2

En déduire :w n+1 w n quandn!+1. 6. Montrer,en utilisant4., que la suite(u)de terme généralu= (n+ 1)w west constante. n n2Nnn n+1 r  En déduire :w n quandn!+1. 2n

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Exercice 2 On considère les éléments suivants deM 3 (R): 0 10 10 10 1 1 0 00 1 00 0 1 11 1 p p @ A@ A@ A@ A I = 01 0 J 0 1= 1 K = 01 0 P= 2 02 0 0 10 1 01 0 0 1 11 1. (a)Justier (sans calcul) queJest diagonalisable, queJnest pas inversible, et que0est valeur propre deJ. 2 2 (b) CalculerJet exprimerJen fonction deIetK.

(a) Calculerles valeurs propres deJet déterminer une base deM 3;1 (R)formée de vecteurs propres pourJ. 1 En déduire quePP Jest une matrice diagonale que lon explicitera. 1 (b) Montrer,en utilisant1.b.et2.a.queP KPest une matrice diagonale que lon explicitera.

3 2. Soit(a; b; c)2R. Onconsidère lélément suivant deM 3 (R): 0 1 a b c @ A M= b a+c b c b a

(a) MontrerqueMsexprime simplement à laide deI; J; Keta; b; c. 1 (b) Endéduire queP MPest une matrice diagonale que lon explicitera.

3. Trouverune matriceXdeM 3 (R)telle que: 0 1 2 2 1 2 @ A X 3 2= 2 1 2 2

Exercice 3 La lettrecdésigne un entier naturel non nul xé. Une urne contient initialement des boules blanches et des boules rouges, toutes indiscernables au toucher. On e¤ectue des tirages successifs dune boule dans lurne selon le protocole suivant:après chaque tirage, la boule tirée est remise dans lurne et on rajoute dans lurne, avant le tirage suivant,cboules de la couleur qui vient dêtre tirée. 1. Danscette question, on suppose que lurne contient initialementbboules blanches etrboules rouges, oùb,rsont des entiers naturels non nuls.

(a) Quelleest la probabilité dobtenir une boule blanche au premier tirage? (b) Quelleest la probabilité dobtenir une boule blanche au deuxième tirage? (c) Sila deuxième boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la première boule tirée ait été blanche?

2. Pourtous entiers naturels non nulsn,x,y, on noteu n (x; y)la probabilité dobtenir une boule blanche eme auntirage, lorsque lurne contient initialementxboules blanches etyboules rouges.

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(a) Montrer, en utilisant un système complet dévènements associé au premier tirage, que, pour tous entiers naturels non nulsn,x,y, on a: x y u(x; y) =u(x+c; y) +u(x; y+c) n+1n n x+y x+y

(b) Endéduire, par récurrence, que, pour tous entiers naturels non nulsn,x,y, on a: x u n (x; y) = x+y

3. Dans cette question, on suppose que lurne contient initialement une boule blanche et une boule rouge et quec= 1tout entier naturel non nul. Poourn, on noteX n la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues au cours desnpremiers tirages.

(a) Donnerla loi deX 1 . (b) Donnerla loi deX 2 . (c) Montrerpar récurrence, queX n suit une loi uniforme dont on donnera lespérance et la variance. - FIN -

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