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Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (ECT) INSEEC

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Examen du Supérieur INSEEC. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.
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INSEEC MATHEMATIQUES 1`ere´epreuve(optiontechnologique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e.
Exercice 1 Onconside`relesmatricescarr´eesdordre3:     4 0 21 0 01 02     A= 04 2Iet1 0= 0J1 2= 0 0 0 20 0 10 01 2 1. CalculerJ. 2. (a)De´terminerdeuxr´eelsαetβtels queA=αI+βJ. n (b)Etablirparre´currenceque,pourtoutentiernatureln:A=anI+bnJ. (On exprimeraan+1etbn+1en fonction deanetbn). 3.Onconside`relesdeuxsuitesdetermesg´ene´rauxUnetVnr:paesni´de Un=an+bnetVn=anbn (a) Montrerque (Un)nNiqtrdoueonnt´epresicalarsiar.noesutenustigee´moe´ CalculerUnen fonction den. (b) Montrer que (Vn)nNnutserelurietm´eog´teuiespn´rcesiuqdenootson.CalceralaraiVnen fonction den. n (c)End´eduireles9termesdelamatriceA.
Exercice 2 I-3 Soitge´noidn]r0eiusonctlaf,+[ par :g(x) = 2x+ 36 ln(x) ×3 2 1.D´eterminer3r´eelsa, b, c, tels que :xR+,(x1) = (x1)(ax+bx+c) 2. 0 (a)Calculerlade´rive´egdeg. Etudier son signe. (b) Calculergdu´eelir1)(nd-Esegienedg(x) sur ]0,+[
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II -3 ln(x) Onconside`relafonctionfde´niesur]0;+[ par :f(x) =x1 + 2 2x On note (Cac)lrboueperesr´neatitevedJ 1. Etudierles variations def 2. Dresserle tableau de variation def. 3.V´erierqueladroite(Dtionequa´d)y=xtptosamy1est`e(aC). 4. Construire(C) et (D). 5. +Z ln(x) (a)Montrerquelinte´graleJ=dxconverge 2 x 1 (b)Ende´duirelairedelasurfacelimit´eeparlacourbe(C), la droite (Dnioatqu´edetiordalte) x= 1.
Exercice 3 Leservicedede´pannagedungrandmagasindisposede´quipesintervenantsurappeldelacliente`le.Pour des causes diverses les interventions ont lieu parfois avec retard. On admet que les appels se produisent inde´pendammentlesunsdesautresetque,pourchaqueappel,laprobabilit´edunretardest0,25. 1.Unclientappelleleservicea`quatrereprises.Ond´esigneparXanenoutprbaellae´taioerrplavari valeurslenombredefoiso`uceclientaduˆsubirunretard. (a)De´terminerlaloideprobabilit´edeX. (b)Calculerlesp´eranceetlavariancedeX. (c)Calculerlaprobabilit´edel´ev´enementleclientasubiaumoinsunretard. 2.Aucoursdesanne´es1998et1999leserviceapre`s-venteenregistreunesuccessiondappels.Lerang du premier appel pour lequel l’intervention s’effectue avec retard en 1998 (respectivement en 1999) d´enitunevariableal´eatoireY(respectivementZ). (a)D´eterminerlaloideY. × (b)kN, calculerp(Y6k). (c)T= max(Y, Zddsergnalpsuenelesigaxd´o`um)srembnouxdeYouZ. i.De´crirele´ve´nement(T6k) en fonction de (Y6k) et de (Z6k). ii.D´eterminerlaloideT. iii.Calculerlespe´ranceE(T) de la variableT.
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