Exercice 1 Onconside`relesmatricescarr´eesd’ordre3: 4 0 21 0 01 02 A= 04 2Iet1 0= 0J1 2= 0 0 0 20 0 10 0−1 2 1. CalculerJ. 2. (a)De´terminerdeuxr´eelsαetβtels queA=αI+βJ. n (b)Etablirparre´currenceque,pourtoutentiernatureln:A=anI+bnJ. (On exprimeraan+1etbn+1en fonction deanetbn). 3.Onconside`relesdeuxsuitesdetermesg´ene´rauxUnetVnr:paesni´dfie Un=an+bnetVn=an−bn (a) Montrerque (Un)n∈Niqtrdoueonnt´epresicalarsiar.noesutenustigee´moe´ CalculerUnen fonction den. (b) Montrer que (Vn)n∈Nnutserelurietm´eog´teuiespn´rcesiuqdenootson.CalceralaraiVnen fonction den. n (c)End´eduireles9termesdelamatriceA.
Exercice 2 I-3 Soitge´nfioidn]r0eiusonctlaf,+∞[ par :g(x) = 2x+ 3−6 ln(x) ×3 2 1.D´eterminer3r´eelsa, b, c, tels que :∀x∈R+,(x−1) = (x−1)(ax+bx+c) 2. 0 (a)Calculerlade´rive´egdeg. Etudier son signe. (b) Calculergdu´eelir1)(nd-Esegienedg(x) sur ]0,+∞[
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II -3 ln(x) Onconside`relafonctionfde´finiesur]0;+∞[ par :f(x) =x−1 + 2 2x On note (Cac)lrboueperesr´neatitevedJ 1. Etudierles variations def 2. Dresserle tableau de variation def. 3.V´erifierqueladroite(Dtionequa´’d)y=x−tptosamy1est`e(aC). 4. Construire(C) et (D). 5. +∞ Z ln(x) (a)Montrerquel’inte´graleJ=dxconverge 2 x 1 (b)Ende´duirel’airedelasurfacelimit´eeparlacourbe(C), la droite (Dnioatqu´ed’etiordalte) x= 1.
Exercice 3 Leservicedede´pannaged’ungrandmagasindisposed’e´quipesintervenantsurappeldelacliente`le.Pour des causes diverses les interventions ont lieu parfois avec retard. On admet que les appels se produisent inde´pendammentlesunsdesautresetque,pourchaqueappel,laprobabilit´ed’unretardest0,25. 1.Unclientappelleleservicea`quatrereprises.Ond´esigneparXanenoutprbaellae´taioerrplavari valeurslenombredefoiso`uceclientaduˆsubirunretard. (a)De´terminerlaloideprobabilit´edeX. (b)Calculerl’esp´eranceetlavariancedeX. (c)Calculerlaprobabilit´edel’´ev´enementleclientasubiaumoinsunretard. 2.Aucoursdesanne´es1998et1999leserviceapre`s-venteenregistreunesuccessiond’appels.Lerang du premier appel pour lequel l’intervention s’effectue avec retard en 1998 (respectivement en 1999) d´efinitunevariableal´eatoireY(respectivementZ). (a)D´eterminerlaloideY. × (b)∀k∈N, calculerp(Y6k). (c)T= max(Y, Zddsergnalpsuenelesigaxd´o`um)srembnouxdeYouZ. i.De´crirel’e´ve´nement(T6k) en fonction de (Y6k) et de (Z6k). ii.D´eterminerlaloideT. iii.Calculerl’espe´ranceE(T) de la variableT.