Exercice 1 −2 2−3 10 0 SoientA= 3−7 9etI1 0= 0 2−0 0 14 5 1. 2 2 (a) CalculerAeretd´isrnemi,upaetbtels queA=aA+bI. −1 (b)Ende´duirequelamatriceAest inversible et exprimer son inverseAen fonction deAetI, puis −1 calculerA. −2x+ 2y−3z= 2 −1 (c) Utiliserle calcul deA3edsrro´ueusreplot`yseemx−7y+ 9z= 0 2x−4y+ 5z=−2 2.D´emontrerparr´ecurrenceque,pourtoutentiernatureln, on a : n nn n A= (−1) [(1−2 )A+ (2−2 )I].
Exercice 2 −u On rappelle que pour toutu,lxep´reeu=e. 1.Ond´efinitlesdeuxfonctionsφetψsurR+par : 1 −u−u2 φ(u) =e−1 +uetψ(u) =e−1 +u−u . 2 (a) Etudierles variations de la fonctionφsurR+on,cesirrustaelbatnoairavedutions,etend´eduierel signe deφsurR+. 0 (b)Montrerquepourtoutre´eludeR+,ψ(u) =−φ(uoitcnofaledsnoitn.)nearialesvuired´edψsurR+, construiresontableaudevariations,etend´eduirelesignedeψsurR+. (c)Apartirdel’e´tudefaiteena)etb),montrerquepourtoutr´eelupositif ou nul on a : 1 −u2 1−u6e61−u+u . 2 2. Pournnfitius[r0urelnonnul,ond´eeeitntanr,1] la fonctionfnpar : 2 x 2 x − fn(x) =e nexp− n 1 Z et on poseIn=fn(x)dx. 0 (a)Enutilisantladoubleine´galite´obtenue`alapartie Ic) , montrer que, pour toutxde [0,1], on a : 2 24 x xx 1−6fn(x)61−+. 2 n n2n Ende´duireenfonctiondenun encadrement deIn. (b) Montrerque la suite (In)n>1srlamiti.eveontcesesice´rpteetnegr (c) Enutilisant l’encadrement deInobtenu en b), donner un encadrement den(In−1), puis montrer que la suite (n(In−.etirsseimalpretci´e))1ontcesteenrgve n>1
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1 Exercice3 Uneentreprisefabriquedesjouetse´lectroniques.Apr`eslafabricationdecesjouets,l’entrepriseeffectuedescontrˆoles `alasuitedesquels0,6%desjouetsrestentd´efectueux:unjouetcontroˆle´aainsilaprobabilit´e0,006 de rester d´efectueux.Onconsid`ereunlotdenntrˆol´esetparmiecxuc-,inopaeplleeuojocstXle nombre de jouets restant d´efectueux. 1. Surnuotej,quel´estrˆosconte´dfeceuaucjnuoelleestlatvuaeluexu?rquborplibaeellaltserlntees´eit’iqu maximaledepourlaquellecetteprobabilit´eestsupe´rieureoue´gale`a0,5 ? 2.Quelleestlaloidelavariableal´eatoireXt).ceosniel´rseluatvaarefiitsujno(? 3. Pournreatoi=500,paviredallae´baelaponocprrlheoialuqraellepiol-tueX? Ende´duire,pourcettevaleurdenun,xiroppeaprlaabobtimadeonyli’atiatiliuqe´xjouetsuplusdeu restantde´fectueux. 4. Pourn0,0010=tuepiolelleuqraplalocherppro-onaae´lailbvaradileotaeeriX? ende´duire,pourcettevaleurdenqe´tilibtiayli’u0ee5trenseau0(t7snu,enparpxoimationdelaproba large)jouetsrestantd´efectueux. 5. Lesnetdnu’jnuoperataoiiquelar´riseainspertne’la`ruoterleete)quonlcue,qxfie´entsud(svtnessonouetj d´efectueuxcouˆtent40euros.Surcesnjouets, soitYatarepr´.nsiorsedlatotesruoteixdeleprenttrevi ExprimerYen fonction deXetend´eduirelpse’are´decneY. Decombiendoit-onmajorerleprixdeventedechacundecesnjouetspourcouvrirlefraisentraıˆne´sparla r´eparationdesjouetsde´fectueuxdanscelotdenjouets ?
Exercice 4 Uneurnecontient2boulesnoireset3boulesblanches.Ontiresimultane´ment2boulesdel’urne. Quelleestlaprobabilit´ed’obtenirainsi2boulesnoires?uneseuleboulenoire?aucuneboulenoire? Uneurnecontient1boulenoireet4boulesblanches.Ontiresimultan´ement2boulesdel’urne. Quelleestlaprobabilite´d’obtenirainsi1boulesnoires?aucuneboulenoire? On dispose d’une urneU0contenant 2 boules noires et trois boules blanches, et d’urnesU1, U2, . . . ., Un, . . .., chacune contenant3boulesblanches.Ontiresimultane´ment2boulesdel’urneU0, on les place dans l’urneU1, et on appelleX1le nombre de boules noires contenues alors dans l’urneU1. 1.Donnerlaloidelavariableale´atoireX1cte;naecp´eroneslersalcu De l’urneU1antcnnoet5soblaro,ontulesimuliresneme´natseluob2tspleonetnsdacelaU2Et ainsi. . . . desuite.Onad´efiniainsipournentiernaturel,Xn: le nombre de boules noires contenues dansUnlorsque les2boulesprovenantdel’urnepr´ec´edenteyonte´t´ede´pos´eesetjusteavantdetirer2boulesdel’urneUn. n 2. Pourneluratrn,dulnnnoeitne(mentrilee´rce´en´’veXn=end´2)etiudeuqereP(Xn= 2) = (0,1) . 3. Pournentier naturel non nul, montrer que P(Xn+1= 1) = 0,6P(Xn= 2) + 0,4P(Xn= 1). Puismontrerparr´ecurrenceque,pournentier naturel non nul, on a : n n P(Xn= 1) = 2×(0,4)−2×(0,1). 4. Calculer,pournedtaruleonetneinrp´erancennull’esXnimiledetaltera´eelncttcespeeeuroqsntend vers +∞.