Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (S) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 215
• Langue: Français

Extrait

ECRICOME 1999 S

Lundi 3 mai 1999 de 8h00 `a 12h00

L’´enonc´e comporte 5 pages.

Exercice 1

Soit

la fonction r´eelle d´efinie sur

par :

o`u

est un entier naturel sup´erieur ou ´egal `

a

1

.

On se propose de d´eterminer les extremums ´eventuels de cette fonction dans les deux cas particuliers

, puis

.

.1.

a) Justifier que

, est une fonction de classe

sur

.

b) Calculer les d´eriv´ees partielles du premier ordre de

.

.2.

On se place dans le cas

.

a) Montrer qu’il n’existe qu’un seul point

de

v´erifiant les conditions n´ecessaires

d’existence d’un extremum.

b) Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre

de la fonction

et montrer que le point

est bien un extremum dont on pr´ecisera la nature.

.3.

On se place dans le cas

.

a) Montrer qu’il existe une infinit´e de points en lesquels le gradient de

s’annule.

b) Montrer qu’en ces points la fonction

admet un minimum.

Exercice 2

.1. Soit la matrice

a) Montrer que les valeurs propres de

sont

et

et d´eterminer les sous-espaces propres

associ´es.

b)

est-elle diagonalisable ?

On se propose de calculer

pour tout entier naturel

.

.2. Soit

et

deux matrices r´eelles carr´ees d’ordre

´ecrites sous forme de blocs:

avec

avec

V´erifier que le produit

s’´ecrit sous forme de blocs :

o`u

.

1

.3. Montrer que pour tout entier naturel

non nul, il existe une matrice colonne

`a

lignes telle

que

o`u

est la matrice

.

.4.

Calcul de

On pose

,

o

`u

est la matrice identit´e d’ordre

.

Pour tout entier naturel

, calculer

et ´ecrire explicitement la matrice

.

.5.

Calcul de

.

a) Soit

la matrice colonne repr´esentant dans la base canonique l’unique vecteur propre de

associ´

e

`a la valeur propre

, dont la premi`ere composante vaut

.

Calculer

puis

.

b) On pose

.

D

´eduire du 5.a les valeurs de

et

.

Problme

Le but de ce probl`eme est l’´etude de la r´epartition des revenus dans une population donn´ee, ainsi que

de deux mod`eles d’imposition.

Les trois parties peuvent ˆetre trait´ees de mani`ere ind´ependante.

Partie I

R´epartition des revenus dans une population donn´ee

On fait choix d’une unit´e

de revenu (par exemple

F) et on appelle

la variable al´eatoire

repr´esentant dans cette unit´e le revenu annuel d’un individu pris au hasard dans une certaine popula-

tion. On suppose que

suit la loi de Pareto de param`etres

c’est-`a-dire qu’une densit´e

de

est :

si

si

avec

,

est le revenu minimal recens´e dans la population.

I.1. Calculer la fonction de r´epartition

de

et donner l’allure de son graphe.

I.2. Calculer le revenu moyen

d’un individu de la population.

I.3. Soit

l’effectif total de la population et

le nombre des individus ayant un revenu au

moins ´egal `a

(

r´eel positif).

a) Quel est le montant total

des revenus de la population ?

b) En exprimant de deux fac

¸ons diff´erentes la probabilit´e qu’un individu, pris au hasard dans

la population, ait un revenu au moins ´egal `a

, montrer que

En d´eduire l’expression de

en fonction de

,

et

.

2

I.4. On change d’unit´e de revenu (on remplace

par une autre unit´e

,

o

`u

)

e

t

o

n

appelle

la variable al´eatoire repr´esentant le revenu annuel d’un individu exprim´e dans l’unit´e

. Calculer

en fonction de

et montrer que la loi de

est aussi une loi de Pareto.

Partie II

Etude d’un mod`ele d’imposition par tranches

Dans la plupart des pays, l’Etat pr´el`eve une partie des revenus d´eclar´es des habitants par un impˆot

direct.

On suppose dans cette partie II que ce pr´el`evement se fait par tranches. Une unit´e

de revenus ´etant

choisie, les tranches sont d´etermin´ees par une suite strictement croissante de r´eels

(on suppose

). La partie des revenus d’un individu se trouvant dans la tranche

est impos´ee au taux

,

l

a

s

u

i

t

e

´etant une suite croissante de r´eels de

(plus les tranches sont hautes, plus le taux

d’imposition est ´elev´e).

Ainsi un individu disposant d’un revenu annuel

paiera un impˆot :

si

si

avec

Soit

le nombre d’individus ayant un revenu sup´erieur ou ´egal `a

. On suppose que la fonction

est continue sur

et on admet que la tranche

rapporte `a l’Etat la somme :

.

On suppose dans cette partie que :

pour tout entier naturel

,

, et chaque tranche

est impos´ee au taux

,

o`u

est un param`etre r´eel strictement positif.

le nombre d’individus ayant un revenu sup´erieur ou ´egal `a

est

si

si

Cela revient `a prendre pour unit´e de revenu le revenu minimal recens´e dans la population,

´etant le

nombre total de contribuables.

II.1.

a) Quel est le taux d’imposition de la tranche

?

b) Ecrire, en Turbo-Pascal, un programme qui saisit le revenu

d’un contribuable et la valeur

choisie pour

, qui calcule et affiche la valeur de l’impˆot

acquitt´e par ce contribuable.

II.2. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral

est convergente et que le montant total

de l’impˆot encaiss´e par l’Etat est

.

On d´esigne d´esormais cet impˆot total par

(et non plus simplement

) pour mettre en ´evidence

qu’il d´epend du param`etre

.

3

II.3.

a) En admettant que :

pour

, montrer que :

b) Montrer que

est une fonction de

continue et d´erivable sur

c) Etudier

et

.

d) Dresser le tableau de variations de la fonction

.

II.4. On admet que le montant total des revenus de la population est dans ce mod`ele

.

Avec le syst`eme d’imposition ´etudi´e dans cette partie II., l’Etat peut-il pr´elever par l’impˆot

direct le dixi`eme de ce montant total ? Peut-il en pr´elever le tiers ?

Partie III

Etude d’un mod`ele d’imposition continu

On reprend les notations de la partie II, mais on suppose ici que le taux d’imposition est une fonc-

tion

continue et croissante. On admet que le montant total de l’impˆot est dans ce cas :

sous r´eserve de convergence de cette int´egrale. On suppose d´esormais que :

,

o

`u

est un param`etre r´eel strictement positif.

le nombre d’individus ayant un revenu sup´erieur ou ´egal `a

est :

si

si

(mˆeme hypoth`ese qu’au II.)

III.1. Donner le tableau de variations de la fonction

sur

.

III.2. On note maintenant

l’impˆot total pour mettre en ´evidence qu’il d´epend du param`etre

.

a) Montrer que l’int´egrale

est convergente.

b) Montrer que

.

c) Montrer sans chercher `a calculer sa d´eriv´ee que

est une fonction croissante de

.

III.3. On pose, pour tout r´eel

strictement positif,

.

a) Montrer que, pour

,

o

n

a

:

.

E

n

d

´eduire

.

4

b) Justifier, pour

,

l

’

i

n

´egalit´e

et en d´eduire que:

Pour tout

,

o

n

fi

x

e

tel que l’on ait

.

Montrer alors qu’on peut trouver

tel que pour

,

o

n

a

i

t

:

En d´eduire que :

.

c) On se propose ici d’´etudier la continuit´

e

d

e

l

a

f

o

n

c

t

i

o

n

sur

.

Pour

fix´e strictement positif, ´ecrire

sous forme d’une int´egrale.

Montrer que pour

et

,

o

n

a

:

.

En d´eduire qu’on peut trouver une constante

telle que pour

:

Conclure

III.4.

a) Montrer que la fonction

est continue sur

.

b) Calculer

et

.

c) Donner l’allure du graphe de

.

III.5. On admet que le montant total des revenus de la population est dans ce mod`ele

.

Avec le syst`eme d’imposition ´etudi´e dans cette partie III., l’Etat peut-il pr´elever par l’impˆot

direct le tiers de ce montant total ?

5