Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 1999

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 154
• Langue: Français

Extrait

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE

EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES

OPTION TECHNOLOGIQUE

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies.Lescandidatssontinvit´es`aencadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument; L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmate´riele´lectroniqueestinterditpendantcette´epreuve.

Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautorise´e.

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Exercice 1 Partie A Onconside`redansM 3 (R) les 3 matrices suivantes:      01 0 0 1 00 11 1 1     0 0  M= 10 0,P= 01−1 etD=  2  2 1 1 1 21−2 0 0 0− 2 −1 1. MontrerquePetmrdte´niretinvesbleeersiP(ntsurlacopie).acseluclugfisorerustosdleta´esdil 2. −1−1 (a)Ve´rifierque:PP M=Diude´dnetereMen fonction deP,DetP. n (b)De´terminerDpour tout entier naturelnnon nul. n−1 (c) Enexpliquant le raisonnement suivi, exprimerMen fonction deP,DetPpour tout entier naturel nnon nul. (d) Etablirque pour tout entier n non nul:       n nn n 1 11 1 +−− −0 2 22 2      n nn n 1 1 1 11 n M= − −+−0 2 2 2 22      n n   1 1 2−2 2−2 2 2 2 Partie B Un tourniquet comprend 3 casesA,BetC. Au cours des instants successifs 0,1,2,3, . . . ,ncalpeesul´eed.,u..bone surletourniquetdelamani`eresuivante: – Al’instant 0, la boule est en A. –Sia`l’instantnla boule est enAattni’sn`,lan+ 1elle est enBou enC´eecipqubarolibi´t.eva –Si`al’instantnla boule est enBsni’la`,tnatnelle est en+ 1Aou enCt´e.avuqpicee´ibilorab –Si`al’instantnla boule est enCnttanslai’ts`eyeere,lln+ 1. Pournedno,lerutanreitnar:´esignep –A n lanssecaeeuldastl’ne”talobe´´vnemeAtnatla`sni’n” –B n esavee´l´’tnl”enemleesabouslactdanB’la`tnatsnin” –C n ´el’enemenv´”taloblueetsadsnlacaseCtn`al’instan”   a n   et l’on notea n =P(A n ), b n =P(B n ), c n =P(C n ) etX n =b n c n 1. (a)Donnerlesprobabilite´s:P(A 0 ),P(B 0 ),P(C 0 ). (b) CalculerP(A 1 ),P(B 1 ),P(C 1 fierque)etv´eriP(A 1 ) +P(B 1 ) +P(C 1 ) = 1. 2. Danscette questionnest un entier naturel non nul. (a)Donnerles9probabilite´ssuivante: –P(A n+1 /A n ), P(B n+1 /B n ),etP(C n+1 /C n );

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–P(B n+1 /A n ) etP(C n+1 /A n ); –P(A n+1 /B n ) etP(C n+1 /B n ); –P(A n+1 /C n ) etP(B n+1 /C n ) (b)Al’aidedelaformuledesprobabilite´stotales,exprimerlesprobabilite´sa n+1 ,b n+1 etc n+1 en fonction desprobabilit´esa n ,b n etc n . (c)End´eduireque:X n+1 =M.X n ,Mamatantldelariceisngde´partie A. 3. n (a)Montrerparr´ecurrenceque:pourtoutentiernatureln,X n =M .X 0 . (b)Ende´duirepourtoutentiernaturellesexpressionsdea n ,b n etc n en fonction denetuqefiire´vre a n +b n +c n = 1. 4. SoitTunombrede´egaleamenest´ndee´lpcaavlae´lriotairaaelbriasseceuqruopseleouabelneigteatCpour lapremie`refois. kd´nantesignenureitutannlernuonl. (a)V´erifierque:(T=k) = (A k−1 ∩C k )∪(B k−1 ∩C k ). (b) ExprimerP(T=k) en fonction deknnoctıˆaalerdiole.ReT. DonnerE(T).

Exercice 2 Partie A x Soitflafonctionnume´riquede´finiesur[1,+∞:[ parf(x) =. x−lnx Ond´esigneparCvetideesr´taenuobrrepelcafdan.ere`lpudusnapern 1. (a)D´eterminerlalimitedefen +∞. (b)Ende´duirelanaturedelabrancheinfiniedeCen +∞. 2. (a)R´esoudredans[1,+∞uation:1l[i’´nqe−lnx>0. 0 (b)Ende´duirequef(x) s’annule et change de signe enx=e. (c) Donnerle tableau de variation def. 3.Donnerlese´quationsdestangentes`alacourbeCaux points d’abscisses 1 ete. 4. ConstruireCtesalbsetosemytpntue´evedansllesre`pernuonohtroee´ermqraueramtnsenaegsestiqueains e d’unite´3cm.Onprendra:e'2,7,'1,6. e−1 Partie B Soita1.dquenuee´rrtslteicntmeusplangr SoitTunevariableale´atoire`avaleursdansN\{0}r:apeinfie´dioled   k−1 lna pourkentier naturel non nul,P(T=k) =p.o`,upitostpene.ivellee´remetcirtssnoctnatseenut a n.urel´edueenisngnrtatnei 1.   n lnalnalna (a)Rappelerlesignedeetcomparerler´eelaunombre1.End´eduirelim. n→+∞ a aa

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n n P 1−x n−1k−1 (b)Pourtoutr´eelx,1´dtnede´erdffi1+r(peopelevx+∙ ∙ ∙+x)(1−xndeet´ede)riu:euqx= . 1−x k=1   k−1 n P lna 2. OnposeS n = . a k=1 lna (a) ExprimerS n en fonction den.et de a (b)End´eduireque:limS n =f(a`ufe),oontiefid´lastncfoadeinlsnapartie A. n→+∞ 3. lna (a) Montreralors que la loi deTr:ouepniefid´enbietsp= 1−. a (b)reconnaıˆtrelaloideTet donnerE(T).

Exercice 3 Partie A Ond´esigneparXavarldeeer´dunh(ee”vi´laelbai”eriotaeilm´enager.ueer)s’dnupaaper On suppose queXionenrdt´siafelctonemdauoptfar:niepd´efi  −0,002x 0,002esix>0 f(x) = 0 six >0 1.ReconnaıˆtrelaloideX. DonnerE(X) etV(Xetmrnire)D.e´editranoitdeonepr´folatincX. 2. (a)Calculerlaprobabilite´pourqu’unappareilfonctionneaumoins800heures. (b)Calculerlaprobabilit´epourqu’unappareilfonctionnemoinsde900heuressachantqu’ilafonctionne´ au moins 800 heures. 8 1 − '0,202− 1 On rappelle que 0,:002 =et on prendrae 5 ; e 5 '0,819 500 PartieB Letauxdepannesd’unecentrifugeusee´tanttrop´elev´e,sonfabricantde´cidederappelerles10000unite´sde´j`a venduesenFranceendiffusantuncommunique´danslapresse. Onestime`a0,ainniosss.re’lnueea`noecedcssoitusesurn´retocedeecseirtnegufu’eqequnlcuequonl1paorabibil´t Lesretourssontinde´pendantslesunsdesautres. SoitZlavariableale´atoire´egaleaunombredecentrifugeusesretourne´esdanstoutelaFrance. 1. Reconnaˆıtrela loi deZ. DonnerE(Z),V(Z). 2. (a) Justifierque l’on peut approcher la loi deZpar une loi normale (m,σspa-rale)´dnotnodenimrete rame`tres. Tous les calculs suivants seront faits avec cette approximation et l’on ne tiendra pas compte de la correctiondecontinuit´e. Onde´signeparΦlafonctionder´epartitiondelaloinormaleN(0,1). (b) Rappelerpour toutxuelavall(Φedreer´x) + Φ(−x). (c) ExprimerP(9706Z61030) en fonction de Φ(1). (d)D´eterminerleplusgrandentierMtel queP(Z>M)>0,9772. Extraitdelatablenormalecentre´er´eduite:Φ(1)=0.8413. . .; Φ(2) = 0.9772. . .

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