Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre. **** Ce problème porte sur l'étude d'une suite double et de différents contextes dans lesquels on retrouve cette suite. On désigne parN l'ensemble des entiers naturels, parN * l'ensembleN privé de 0, parZl'ensemble des entiers relatifs et parR l'ensemble des nombres réels. Pourn∈N note, on0,n l'ensemble des entiers naturelsk 0 tels que≤k≤n.
On noteMn+1(Z) des matrices carrées d'ordre l'anneaun coefficients dans1 àZ. Pour
M∈Mn+1(Z), on noteM=mp,q(p,q)∈0,n2 oùmp,q l'élément de la ligne estp de la et m m colonneq. Par exempleM∈M2(Z) sera notéM=0,0 0,1. m1,0m1,1 PourM∈Mn+1(Z), on det note( ) et de le déterminantcom(M) . la comatrice de R[X désigne l'espace des polynômes à coefficients réels et, pourn∈N ,Rn[X le désigne sous-espace deR[X] des polynômes de degré inférieur ou égal àn. Les partiesII, IIIetIVde ce problème sont indépendantes entre elles ; seule la suite étudiée dans la partieIapparaît dans une question de chacune de ces parties. Tournez la page S.V.P.
(i
)
a0 0=1 ,
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PARTIE I On définit la suite double de nombres réels
(ii) tout pourp∈N* ,ap,0=0
(iii) tout pourq∈N* ,a0,q=0
(iv) pour tout(p,q) ∈N2,ap+1,q+1=ap,q+ (p+1)ap+1,q.
ap,q
2 par : (p,q)∈N
La considération d'un tableau, dans lequel lesap,q sont disposés avecp indice de ligne etqindice de colonne, pourra se révéler d'une utilité certaine. I.1. Pourq∈N, calculera1,q.
I.2.
I.3. I.4.
I.5.I.6.
Calculera2,1 eta2,2.
Pourq≥2 , exprimera2,q en fonction dea2,q−1. En déduire la valeur dea2,q.
Pourp∈N considère la propriété, onPp: " pour toutq∈N, on aap,q∈N".
Montrer que pour toutp∈N, la propriétéPpest vraie.
, calculer Pourp>q ap,q.
Pourp∈N ,calculerap,p.
I.7. Pourn∈N désigne par, onAn la matrice carrée d'ordren+1 (c'est-à-dire àn+1 lignes et àn+ dont le terme de la ligne1 colonnes),p et de la colonneq estap,q tout, pour (p,q) ∈0,n2. Expliciter les matricesA2,A3,A4etA5.
II.1.SoitM=
mp,q
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PARTIE II
Dans cette partie,n désigne un entier naturel.
∈Mn+1(Z).
II.1.1. detMontrer que(M) ∈Z.
II.1.2.Montrer quecom(M) ∈Mn+1(Z).
II.1.3. inversible dans estOn rappelle qu'une matriceMn+1(Z)si et seulement si−1existe et appartient àMn+1(Z) est inversible dans. Montrer queMn+1(Z)si et seulement si det(M) = ±1 . II.2.On définit la suiteBpp∈N de polynômes deR[X : parB0= pour1 etp∈N* , p−1 Bp=∏(X−j). j=0 II.2.1.Montrer que(B0,B1,K,Bn) est une base de l'espace vectorielRn[X; on notera
B cette base.
On noteXeu,1canoniqlabaseX,K,Xn deRn[X.
On notePn la matrice de passage de la baseX
de la baseB à la baseX
.
à la base
B
II.2.2.On prendn=4 , expliciter les matricesP4 etQ4.
etQn la matrice de passage
II.2.3.Montrer quePn est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dansZ.
II.2.4. det Calculer(Pn).
II.2.5 que MontrerQn est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dansZ. q On noteQn= βp q p,q∈0,n2 tout. Pourq∈0,n, on a doncXq=∑0βp,qBp. ,( ) p= II.2.6.En donnant àX valeurs particulières, déterminer les coefficients des 0,q,β1,q,β2q pourq∈0,n. , II.2.7. que MontrerQn=AnoùAn est la matrice définie auI.7.
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PARTIE III ∞ On noteF l'espace vectoriel réel des applications de classeC définies sur valeurs dansR de. On définit l'applicationF dansFpar : ′ . φ( ) =g oùg(x) =xf(x)
0,[+∞ à et
Pourq∈N* , on noteq= φoφq−1; ainsi2= φoφ (par convention :φ0=idF). III.1. un endomorphisme de estVérifier queF. Est-il surjectif ? Est-il injectif ? Préciser le noyau de . III.2.Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de .
III.3.Pour∈F, expliciterφ2( ). Déterminer le noyau de2 et en donner une base. III.4. Soitn∈N * qu'il existe des entiers. Montrerdp,q tels que, pour toutq∈1,n et tout q f∈F ait la relation : pour tout dans 0,, on[+∞,φq( ) (x) =∑dp,qxpf(p)(x), oùp est p=1 la dérivée p-ième de . On admet que cette décomposition est unique. III.5.On convient qued0,0=1 et que, pourp∈N* etq∈N* ,dp,0=d0,q=0 etdp,q0 si p>q. Montrer que pour tout(p,q) ∈1,n2, on adp,q=ap,q les, oùap,q sont les termes définis dans la partieI.
PARTIE IV IV.1Soit la fonction définie surR par(ϕt) =exp expt) − où exp1 , est la fonction exponentielle. IV1.1.Déterminer le développement limité de 4 en à l'ordret= 0. IV1.2.Pourn variant de 1 à 4, 0. en déduire la valeur de la dérivée n-ième de en
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SoitE un ensemble de cardinaln,n∈N. On appelle partition deE, tout ensemble de parties non vides deE, deux à deux disjointes, dont la réunion estE. Chaque partie de la partition s'appelle une classe. IV.2. tout entier Pourj∈N* , on notePjn le nombre de partitions deE en classes. Par convention, on noteP00= pour tout1 et,n∈N * etj∈N* ,Pn0=P0j=0 .
IV.2.1.Pour>n, calculerPnj.
IV.2.2. CalculerPn1et Pnn pourn∈N *.
IV.2.3.On supposej≥2et n≥1 . Soita∈E. En distinguant parmi les partitions deE en classes, celles pour lesquelles le singleton =−+Pest une classe de la partition, justifier l'égalitéPnjPnj−11jjn−1.
a
IV.2.4.En déduire que pour tout(j,n) ∈N2, on aPjn=aj,n les ,aj,n les termes étant définis dans la partieI. IV.3.On notePn le nombre de partitions deE. Par conventionP0=1. IV.3.1.Pourn à 4, calculer variant de 1Pn et comparerPn àϕ(n(0) où la est fonction définie enIV.1.IV.3.2.ExprimerPn à l'aide desPjn. Dans la suite, on admettra la formule n (1)Pn+1=∑CknPk où lesCnk sont les coefficients du binôme. k=0 IV.3.3 Montrer que pour toutn∈N on aPn≤n!
+∞ IV.4Pourx∈R, on notes(x) =∑nPnxn lorsque la sé n=0geer.er!invco IV.4.1.Déduire deIV.3.3. que le rayon de convergence de la série est supérieur ou égal à 1. IV.4.2.Montrer à l'aide de(1) pour quex< a1, ons(′x) =s(x)expx (on pourra développer en série entière exp et utiliser le produit de Cauchy de deux séries entières). IV.4.3.En déduires(x). IV.4.4.Montrer que pour toutn∈N, on aPn= ϕ(n(0). Fin de l'énoncé.Tournez la page S.V.P.