Mathématiques 2 2004 Classe Prepa PSI Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 2 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2 2004 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
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• Langue: Français

Extrait



            Les calculatrices sont autorisées.  ****  N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre.  ****  Ce problème porte sur l'étude d'une suite double et de différents contextes dans lesquels on retrouve cette suite.  On désigne parN l'ensemble des entiers naturels, parN * l'ensembleN privé de 0, parZ l'ensemble des entiers relatifs et parR l'ensemble des nombres réels.  Pourn∈N note, on  0,n   l'ensemble des entiers naturelsk 0 tels que≤k≤n. 

On note M n+1 ( Z )  des matrices carrées d'ordre l'anneaun coefficients dans1 àZ. Pour

M ∈M n+1 ( Z ) , on noteM=m p,q ( p,q)∈  0,n  2  oùm p,q  l'élément de la ligne estp de la et m m colonneq. Par exempleM ∈M 2 ( Z )  sera noté M   =  0,0 0,1    . m 1,0 m 1,1  PourM ∈M n+1 ( Z ) , on det note ( )  et de le déterminantcom ( M )  . la comatrice de  R [ X désigne l'espace des polynômes à coefficients réels et, pour n∈N  ,R n [ X le désigne sous-espace de R [ X ]  des polynômes de degré inférieur ou égal àn.  Les partiesII, IIIetIVde ce problème sont indépendantes entre elles ; seule la suite étudiée dans la partieIapparaît dans une question de chacune de ces parties.   Tournez la page S.V.P. 



  ( i

) 

a 0 0 =1 ,

- 2 -

 PARTIE I  On définit la suite double de nombres réels

( ii )  tout pourp∈N* ,a p,0 =0

( iii )  tout pourq∈N* ,a 0,q =0

( iv )  pour tout ( p,q) ∈N 2 ,a p+1,q+1 =a p,q + (p+1 ) a p+1,q . 

a p,q

2  par : ( p,q)∈N

La considération d'un tableau, dans lequel lesa p,q  sont disposés avecp indice de ligne etq indice de colonne, pourra se révéler d'une utilité certaine.  I.1. Pourq∈N, calculera 1,q . 

I.2. 

I.3.  I.4.

  I.5.  I.6.

Calculera 2,1  eta 2,2 .

Pourq≥2 , exprimera 2,q  en fonction dea 2,q−1 . En déduire la valeur de a 2,q .

Pourp∈N considère la propriété, on P p : " pour toutq∈N, on aa p,q ∈N".

Montrer que pour tout p∈N , la propriété P p est vraie.

, calculer Pourp>q a p,q .

Pour p∈ N ,calculera p,p .

 I.7. Pour n∈N  désigne par, onA n  la matrice carrée d'ordren+1 (c'est-à-dire à n+1 lignes et àn+ dont le terme de la ligne1 colonnes), p  et de la colonne q  est a p,q  tout, pour ( p,q) ∈  0,n  2 . Expliciter les matricesA 2 ,A 3 ,A 4 etA 5 .       







 II.1.SoitM=

 



m p,q

- 3 -

PARTIE II

Dans cette partie,n désigne un entier naturel.

∈ M n+1 ( Z ) .

II.1.1. detMontrer que ( M) ∈Z.

II.1.2.Montrer quecom ( M) ∈ M n+1 ( Z ) .

II.1.3. inversible dans estOn rappelle qu'une matrice M n+1 ( Z ) si et seulement si −1  existe et appartient à M n+1 ( Z )  est inversible dans. Montrer que M n+1 ( Z ) si et seulement si det ( M) = ±1 .  II.2.On définit la suiteB p p∈N  de polynômes deR [ X : parB 0 = pour1 et p∈N * , p−1 B p = ∏ ( X−j ) . j=0  II.2.1.Montrer que ( B 0 ,B 1 ,K,B n )  est une base de l'espace vectorielR n [ X; on notera

B  cette base.

On note X eu,1canoniqlabaseX,K,X n  deR n [ X.

On noteP n  la matrice de passage de la base X

de la base B  à la base X

 





.

 à la base

B

II.2.2.On prendn=4 , expliciter les matricesP 4  etQ 4 .

 etQ n  la matrice de passage

II.2.3.Montrer queP n  est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dansZ.

II.2.4. det Calculer ( P n ) .

II.2.5 que MontrerQ n  est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dansZ. q On noteQ n = β p q  p,q∈  0,n  2  tout. Pourq∈  0,n  , on a doncX q = ∑ 0 β p,q B p . , ( ) p=  II.2.6.En donnant àX valeurs particulières, déterminer les coefficients des 0,q ,β 1,q ,β 2q  pourq∈  0,n  . , II.2.7. que MontrerQ n =A n oùA n  est la matrice définie auI.7.





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

4 --

PARTIE III   ∞ On noteF l'espace vectoriel réel des applications de classe C  définies sur valeurs dansR de. On définit l'applicationF dansFpar : ′ . φ( ) =g oùg ( x) =xf ( x )

0, [ +∞ à et

 Pourq∈N* , on note q = φoφ q−1 ; ainsi 2 = φoφ (par convention :φ 0 =id F ).  III.1. un endomorphisme de estVérifier que F . Est-il surjectif ? Est-il injectif ? Préciser le noyau de .  III.2.Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de .

 III.3.Pour∈F, expliciterφ 2 ( ) . Déterminer le noyau de 2  et en donner une base.  III.4. Soitn∈N * qu'il existe des entiers. Montrerd p,q  tels que, pour toutq∈  1,n   et tout q f∈F ait la relation : pour tout dans 0,, on [ +∞,φ q ( ) ( x) = ∑ d p,q x p f ( p ) ( x ) , où p  est p=1 la dérivée p-ième de . On admet que cette décomposition est unique.  III.5.On convient qued 0,0 =1 et que, pour p∈N * et q∈N * ,d p,0 =d 0,q =0 etd p,q 0 si p>q. Montrer que pour tout ( p,q) ∈  1,n  2 , on ad p,q =a p,q  les, oùa p,q  sont les termes définis dans la partieI.  

 PARTIE IV   IV.1Soit la fonction définie surR par ( ϕt) =exp expt) − où exp1 , est la fonction exponentielle.  IV1.1.Déterminer le développement limité de 4 en à l'ordret= 0.  IV1.2.Pourn variant de 1 à 4, 0. en déduire la valeur de la dérivée n-ième de en 







- 5 -

SoitE un ensemble de cardinal n , n∈N . On appelle partition deE, tout ensemble de parties non vides deE, deux à deux disjointes, dont la réunion estE. Chaque partie de la partition s'appelle une classe.  IV.2. tout entier Pourj∈N* , on noteP j n  le nombre de partitions deE en classes. Par convention, on noteP 0 0 = pour tout1 et,n∈N * et j∈N * ,P n 0 =P 0 j =0 . 





IV.2.1.Pour>n, calculer P n j .

IV.2.2. CalculerP n 1 et P n n  pour n∈N * .

IV.2.3.On supposej≥2et n≥1 . Soita∈E. En distinguant parmi les partitions deE en classes, celles pour lesquelles le singleton = − +Pest une classe de la partition, justifier l'égalitéP n j P n j − 1 1 j j n−1 . 

a



IV.2.4.En déduire que pour tout ( j,n) ∈N 2 , on aP j n =a j,n  les ,a j,n  les termes étant définis dans la partieI.  IV.3.On noteP n  le nombre de partitions deE. Par conventionP 0 =1.  IV.3.1.Pourn à 4, calculer variant de 1P n  et comparerP n  àϕ ( n ( 0 )  où la est fonction définie enIV.1.  IV.3.2.ExprimerP n  à l'aide des P j n . Dans la suite, on admettra la formule n (1)P n+1 = ∑ C k n P k  où lesC n k  sont les coefficients du binôme. k=0   IV.3.3 Montrer que pour tout n∈N  on aP n ≤n! 

+∞ IV.4Pourx∈R, on notes ( x) = ∑ n P n x n  lorsque la sé n=0 geer.er ! invco  IV.4.1.Déduire deIV.3.3. que le rayon de convergence de la série est supérieur ou égal à 1.  IV.4.2.Montrer à l'aide de(1) pour quex< a1, ons ( ′ x) =s ( x ) expx (on pourra développer en série entière exp et utiliser le produit de Cauchy de deux séries entières).  IV.4.3.En déduires ( x ) .  IV.4.4.Montrer que pour tout n∈N , on aP n = ϕ ( n ( 0 ) . Fin de l'énoncé.  Tournez la page S.V.P.