Les calculatrices sont interdites **** N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´, `alapre´cisioneta`laconcisiondelare´daction. Siuncandidatestamen´e`arep´erercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’e´nonc´e, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition enexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ila´ete´amene´a`prendre. ****
I.1.tdonEtann´eλ∈s(ontiIR,rareocpmqeauel´sEλ) et (E−λ−1). 1 Onsupposeradanslasuiteduproble`mequeλ≥ −. 2
Dans la suite de cette partie,ydise´uengalavnoedcnitenofeeelller´riabx, admettant un +∞ X n de´veloppementense´rieentie`rey(x) =anxau voisinage de 0. n=0 I.2.Montrer que, pour quey(noitauioutooiltsseq’´elndEλ), il faut et il suffit que l’on ait pour toutn∈IN : (λ+n+ 1)(λ−n) an+1=an. 2 (n+ 1) Tournez la page SVP
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I.3. 1 I.3.1.coneitndnnioce´enoDurensurssiaerteussffinaetλ∈[−,+∞[ pour que 2 l’e´quation(Eλetdm)aolssdetedegresdenn´e´edosnoptuoiimlaylond∈IN ?
I.3.2.Lorsque c’est le cas, montrer qu’il existe une unique solution polynomiale de (Eλed)dege´rd, que nous noteronsϕd, telle queϕd(0) = 1.
I.3.3.pxilElrfaicetionponctˆomeolynϕ1.
0 0 0 I.3.4.smrete´Dscleerinntiefficoea,b,c,a,b,ctels que :
2 8x+ 8x+ 1a bc = ++, x(x+ 1)(2x+ 1)x x+ 12x+ 1
0 00 1a bc = ++. 2 2 x(x+ 1)(2x+ 1)x x+ 1(2x+ 1)
End´eduirelasolutionge´n´eraledel’´equation(E1) sur ]0,+∞[.
1 I.4.nOlpesecaso`uacedanslλ≥ −,λ6∈IN. 2 I.4.1.On suppose queyest une solution non identiquement nulle de (Eλ). +∞ X n D´eterminerlerayondeconvergencedelas´erieenti`ereanx. n=0 I.4.2.Montrer qu’il existe une unique solution de (Eλ), que nous noteronsϕλ, d´eveloppableens´erieentie`redelavariablexsur ]−1,+1[ et telle queϕλ(0) = 1.