Mathématiques 2 2005 Classe Prepa PC Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 2 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2 2005 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 mars 2007
• Nombre de lectures: 35
• Langue: Français

Extrait

Les calculatrices sont interdites **** N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´, `alapre´cisioneta`laconcisiondelare´daction. Siuncandidatestamen´e`arep´erercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’e´nonc´e, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition enexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ila´ete´amene´a`prendre. ****

PARTIE I

◦ Onconside`rel’´equationdiff´erentielleline´airedu2ordreenlafonctioninconnueyde la variablere´ellex: 00 0 (E λ )x(x+ 1)y(x) + (2x+ 1)y(x)−λ(λ+ 1)y(x) = 0, o`uλeel.rer´m`etaparennusegi´d

I.1.tdonEtann´eλ∈s(ontiIR,rareocpmqeauel´sE λ ) et (E −λ−1 ). 1 Onsupposeradanslasuiteduproble`mequeλ≥ −. 2

Dans la suite de cette partie,ydise´uengalavnoedcnitenofeeelller´riabx, admettant un +∞ X n de´veloppementense´rieentie`rey(x) =a n xau voisinage de 0. n=0 I.2.Montrer que, pour quey(noitauioutooiltsseq’´elndE λ ), il faut et il suffit que l’on ait pour toutn∈IN : (λ+n+ 1)(λ−n) a n+1 =a n . 2 (n+ 1) Tournez la page SVP

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I.3. 1 I.3.1.coneitndnnioce´enoDurensurssiaerteussffinaetλ∈[−,+∞[ pour que 2 l’e´quation(E λ etdm)aolssdetedegresdenn´e´edosnoptuoiimlaylond∈IN ?

I.3.2.Lorsque c’est le cas, montrer qu’il existe une unique solution polynomiale de (E λ ed)dege´rd, que nous noteronsϕ d , telle queϕ d (0) = 1.

I.3.3.pxilElrfaicetionponctˆomeolynϕ 1 .

0 0 0 I.3.4.smrete´Dscleerinntiefficoea,b,c,a,b,ctels que :

2 8x+ 8x+ 1a bc = ++, x(x+ 1)(2x+ 1)x x+ 12x+ 1

0 00 1a bc = ++. 2 2 x(x+ 1)(2x+ 1)x x+ 1(2x+ 1)

End´eduirelasolutionge´n´eraledel’´equation(E 1 ) sur ]0,+∞[.

1 I.4.nOlpesecaso`uacedanslλ≥ −,λ6∈IN. 2 I.4.1.On suppose queyest une solution non identiquement nulle de (E λ ). +∞ X n D´eterminerlerayondeconvergencedelas´erieenti`erea n x. n=0 I.4.2.Montrer qu’il existe une unique solution de (E λ ), que nous noteronsϕ λ , d´eveloppableens´erieentie`redelavariablexsur ]−1,+1[ et telle queϕ λ (0) = 1.

I.4.3.ementsen´evelopptireeldsxElpcilevalaabrie`itederre´sneeixdes fonctions ϕetϕ. 1 1 − 2 2

PARTIE II

Soitψlaelleer´leabiravalednoitcnofxeepfindi´:ar Z π 2 p 2 2 ψ(x1 +) =xsint dt. π 0

II.1.Montrer queψr[suueesdte´nfieiteoctnni−1,+∞[.

II.2.Montrer queψefiniind´d´ermentelusvibatse]r−1,+∞[.

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II.3. +∞ √ X n−1 (−1) (2n)! n II.3.1.Montrer que pour toutu∈]−1,+1[ on a1 +u=u. 2n2 2n−1 2 (n!) n=0 II.3.2.Montrer queψs´enleabpplove´ealedere`itneeireablevarisedtxsur ]−1,+1[ et que l’on a :  ! +∞ Z π n−1 X 2 (−1) (2n)! 2 2n n ∀x∈]−1,+1[, ψ(xsin) =x .t dt 2n2 2n−1 2 (n!)π 0 n=0 Z π 2 2n II.3.3.Pour toutn∈IN on poseI n = sint dt. Montrerque pour toutn≥1 0 2n−1 on aI n =I n−1 . 2n CalculerI 0 . Ende´duireI n pour toutn∈ve´deleuqisnia,NIntdeeloppemeψ`iredelee´ireetnensa variablexsur ]−1,+1[.

(2n)! II.3.4.Montrer que pour toutn∈IN, on a≤1. 2n2 2 (n!)

II.3.5.elquertrlove´eednoMppmenedteψrge´elbamreta`eieenti`ereestintne´sre terme sur ]−1,:ueeqirdu+´e,ned1t[e   Z +1 +∞ 2 X 1 (4p)! ψ(x)dx=−2. 4p2 −1 (4p−1)(2p+ 1)2 ((2p)!) p=0

II.4.´eDirdutdeppolnemedudeeve´ψerieentiens´pxerssoie`ernueeednψ(x) en fonction deϕ(x) etϕ(x) pour toutx∈]−1,+1[. 1 1 − 2 2

II.5.e`errohtnoro´m(eslepDananaleenffiilcuneidpprat´oraue`epnrO,~ı, ~`dree),onconsi l’ellipseCaram´etr´eeparpt∈[0,2π]−7→bcost.~ı+asint.~,o`uaetbsont des nombres r´eelsdonn´estelsquea≥b >note0. On`sa longueur eteicit´e.nseoxcentr h i 2 2 Montrer que`=πa ϕ(−e) +ϕ(−e) . 1 1 − 2 2

PARTIE III

Soitflavaondenctilafoeeellel´rirbat´d:arepniefi Z p +1 1 2 f(t) =1 +xsint dx. 2 −1

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III.1.Montrer quef2te,RIruseunittconnieed´efiestπ-e.qudiioerp´

1 III.2.Montrer quefest de classeCsur IR.

III.3.rdeertneuqroMFodeieurs´laieerfest de la forme :

+∞ X α 0 +α 2n cos 2nt, 2 n=1

o`uα 0 ,α 2 , .. .α 2n ombresr´eelsquelo’nnceehcreharapacs`cualr.le...,nsedtnos Pr´eciserpourquoilafonctionfs´sademeomasale`lage´tse.rrueiedoFreei

III.4.on,druneIIon.5.3uqalitsetlusedtaur´eidedAl’aisnoedenxerpseα 0 sous forme desommed’unes´erienum´erique.

Findel’e´nonce´