Exercice 2 Partie I +∞n Px 1.Rappeler,pourtoutr´eelx, la valeur de: . n! n=0 2. Soitae´rnO.lepusnesopelquomenebruNeusrk´deedenutnadneptnetnse´eprseuisqurieTemonuner`a´tee m´ecaniqueestunevariableal´eatoiredontlaloiestd´efiniepar: n 5 pour tout entier natureln,P(N=n) =a. n! (a)De´terminerlavaleurdea.
–quelleestlaprobabilite´qu’aumoinssixskieurssesoientpr´esente´sa`laremont´eem´ecanique? –quelleestlaprobabilite´qu’auplusdeuxskieurssesoientpre´sente´sa`laremonte´eme´canique? –sachantqu’aumoinssixskieurssesontpre´sente´sa`laremonte´em´ecanique,quelleestlaprobabilit´e qu’il y en ait eu au plus neuf? ExtraitdelatabledelaloidePoissondeparam`etre5,probabilite´sindividuellesp(nlue´ctmue)esF(n) deP(5) : n 01 2 3 4 5 6 7 8 910 p(n) 0,0067 0,0337 0,0842 0,1404 0,1755 0,1755 0,1462 0,1044 0,0653 0,0363 0,0181 F(n) 0,0067 0,0404 0,1247 0,2650 0,4405 0,6160 0,7622 0,8666 0,9319 0,9682 0,9863 Partie II Uueinlodeniiurmfolaeltae´eriotnoc´esigneunevariabdlealrvteinl’ures]1;0[. 1. (a)Donnerunedensit´edeU. (b)De´terminerlafonctionder´epartitionFtoirebleal´eavaleairadU. (c)Exprimer,enfonctiondure´elxal,ilabobpr:´eitP(U >x). 2.Lacompagniedesremont´eesme´caniquesainstalle´deuxguichetsaubasdespistes.Onestimequeletemps depassaged’unskieur`al’undesguichetssuitlamˆemeloiquelavariableal´eatoireU. Trois skieurs A, B etCsepre´sententenmeˆmetempsauxguichets.AetBs’adressentsimultan´ementauxdeuxguichets,C attendqueAouBlib`ereunguichet. Ond´esignepar: –U1etU2les temps de passage respectifs de chacun des deux skieurs A et B, –Vle temps d’attente du skieur C. Onsupposeraquelesvariablesale´atoiresU1etU2es.ni´dostnadtnpene
(d)End´eduireunedensite´deprobabilit´egde la variableV. (e) MontrerqueVulera.enseemutdaarevunetceanerp´clacno’leuqecnai
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Exercice 3 Partie I Onconsid`eredansM3(R) les 6 matrices suivantes: 1 0 0 3 1 11 0 01 03 3−1−1 2 1 1 1 M= 03 2, D=, I1 0= 0, P=−2−1 2, T2= 2−6, 0 0 4 2 1 0 14 00 11 11−93 1 0 01 3 3 3 1 etL2 2= 2 6 1 1 1 1. −1 (a) Montrerque la matricePest inversible et calculerPculsfigurerontsuralocip)e.(liate´dselacsedsl −1 (b) Onconstate que:M.T=I´dnEiudeuqer.eMest inversible et donner la matriceM. 2. −1 (a)Ve´rifierqueP .M.P=D. n n−1 (b) Pourtout entier natureln, donner l’expression deMen fonction deP,DetP. n (c) Pourtout entier natureln, exprimer les coefficients de la matriceD. (d)Ond´esigneparΔlamatricedontlescoefficientssontleslimitesquandntendvers+∞des coefficients n n−1 de la matriceD: limet l’on admet queM=PΔP. n→+∞ n De´terminerlamatriceΔetmontrerque:limM=L. n→+∞ Partie II Uneadministration,dontonsupposel’effectifconstant,re´partitsesemploye´sd’uneanne´esurl’autre,auhasard entre trois secteurs A, B et C, en respectant les proportions suivantes: –75%desemploy´esdusecteurAsnelreaduerestcyrestentl’ann´eeetnaviusuqsidnatntvo5%e2llaiavtrC, –75%desemploy´esdusecteurBsque25%vntetandilieldrnanottaravystresee´aviultnenna’urteecesslA, –25%desemploye´sdusecteurClleravailesedansuq2ednsitnrt%5ovruetcntl’esteyretatvinaeeusna´nA et 50% dans le secteurB. 1.Ond´esignepara,betcles effectifs respectifs dans les secteursA,BetCee´deeanni`erpremdelaucarsou fonctionnement.Aucoursdeladeuxie`meanne´e,leseffectifsdanslessecteursA,BetCsont respectivement de 35,51.tseel´pmyeo03 a35 On pose:X=betB= 30. c15 (a)V´erifierque:M.X=Bu,o`Mmaltirta´decinfieanedaslespartie I. (b)End´eduire,`al’aidedelaquestion1.(b)delapartie I, les valeurs dea,betc. 2.Lapremi`ereann´ee,unemploye´Etravaille dans le secteurA. Pour tout entier naturel non nulno,dne´isnge par : ie`me –Anceseruetdelllsna”Etravaienement:’le´´vAlannnae”´e, i`eme –Bnruetceselsedanailltravt:”Emene´vne’le´Blan,e”´enna ie`me –Cnl’urtevaialldenalssece´ev´enement:”EtrClan”ee´,nna