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Mathématiques 2000 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

5 pages
Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION TECHNOLOGIQUE
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies.Lescandidatssontinvit´es`aencadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument; Lusagedetoutecalculatriceoudetoutmate´riele´lectroniqueestinterditpendantcette´epreuve.
Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e.
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Exercice 1 3 2 2x Soitfaluotruotepnied´ontincfox´reeplra:f(x) = (xx)e. 4 Onde´signeparCeperesr´acsrboupudere`p.nalvetitaenreunnsda 1. (a)D´eterminerleslimitesdefen−∞et +. (b) Etudierles branches infinies deC. 2. 5 0 (a) Montrerque la fonctionfruselbavisreed´tRerd´ontincfosaueqteevie´fchange de signe enet 2 5 en . 2 (b) Donnerle tableau de variations def. 3. (a)Re´soudresurR´equation:lf(x) = 0. (b)D´eterminerlesignedef(xtlanvaes)ivsulee´ruelrudsx. 1 3 (c)D´eterminerune´equationdestangentes`aCaux points d’abscisses,0 et. 2 2 4. √ √ 5 15 (a)Tracerlestangentes`aCaux points d’abscisses,,snnuadreoeer`pnormrthounit´ede´t0e 2 22 2 cm. (b) TracerCre`p.eeˆmeeremsdlescaneneveltusysaseets´tetomp √ √5 55 1 3 On prendra:'1,1 ;f()'0,2 ;f( )' −5,8 ;2e'0,7 ;2e'40. 2 22 5. 3 R 2 2x (a)Calculerlint´egrale:I=e dx. 1 2 (b)Calculer,a`laidedinte´grationsparparties,lesdeuxint´egralessuivantes: 3 3 R R 2 2 2x2 2x J=xe dxetK=x edx. 1 1 − − 2 2 2 (c)De´terminer,encm,lairedelensembledespointsMs(een´onrdceoodx,yda)i`alasiohcere`perelsn 1 3 question 4. telles que6x6etf(x)6y60. 2 2 Hachurercetensemblesurlegraphiquepre´c´edent.
Exercice 2 Partie I +n Px 1.Rappeler,pourtoutr´eelx, la valeur de: . n! n=0 2. Soitae´rnO.lepusnesopelquomenebruNeusrk´deedenutnadneptnetnse´eprseuisqurieTemonuner`a´tee m´ecaniqueestunevariableal´eatoiredontlaloiestd´eniepar: n 5 pour tout entier natureln,P(N=n) =a. n! (a)De´terminerlavaleurdea.
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(b)ReconnaıˆtrelaloideNe.tiqu´emaecnahtamsenore´pontdrsnee (c)Enutilisantlextraitdetablefournici-dessous,re´pondreauxquestionssuivantes: Pendantladure´eT,
quelleestlaprobabilite´quaumoinssixskieurssesoientpr´esente´sa`laremont´eem´ecanique? quelleestlaprobabilite´quauplusdeuxskieurssesoientpre´sente´sa`laremonte´eme´canique? sachantquaumoinssixskieurssesontpre´sente´sa`laremonte´em´ecanique,quelleestlaprobabilit´e qu’il y en ait eu au plus neuf? ExtraitdelatabledelaloidePoissondeparam`etre5,probabilite´sindividuellesp(nlue´ctmue)esF(n) deP(5) : n 01 2 3 4 5 6 7 8 910 p(n) 0,0067 0,0337 0,0842 0,1404 0,1755 0,1755 0,1462 0,1044 0,0653 0,0363 0,0181 F(n) 0,0067 0,0404 0,1247 0,2650 0,4405 0,6160 0,7622 0,8666 0,9319 0,9682 0,9863 Partie II Uueinlodeniiurmfolaeltae´eriotnoc´esigneunevariabdlealrvteinlures]1;0[. 1. (a)Donnerunedensit´edeU. (b)De´terminerlafonctionder´epartitionFtoirebleal´eavaleairadU. (c)Exprimer,enfonctiondure´elxal,ilabobpr:´eitP(U >x). 2.Lacompagniedesremont´eesme´caniquesainstalle´deuxguichetsaubasdespistes.Onestimequeletemps depassagedunskieur`alundesguichetssuitlamˆemeloiquelavariableal´eatoireU. Trois skieurs A, B etCsepre´sententenmeˆmetempsauxguichets.AetBsadressentsimultan´ementauxdeuxguichets,C attendqueAouBlib`ereunguichet. Ond´esignepar: U1etU2les temps de passage respectifs de chacun des deux skieurs A et B, Vle temps d’attente du skieur C. Onsupposeraquelesvariablesale´atoiresU1etU2es.ni´dostnadtnpene
(a) Justifierque :pour toutxrel´e(,xV >) = (U1> x)(U2> x) (b)End´eduire,pourtoutxre´le,P(V >x) en fonction deP(xU >). (c) Etablirque la variableVnroetec´uooifdrnteimopitaptdraonctnlafionG:rapeind´eG(x) = 0six <0 2 G(x) = 2xxsix[0,1] G(x) = 1six >1
(d)End´eduireunedensite´deprobabilit´egde la variableV. (e) MontrerqueVulera.enseemutdaarevunetceanerp´clacnoleuqecnai
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Exercice 3 Partie I Onconsid`eredansM3(R) les 6 matrices suivantes:   1      0 0 3 1 11 0 01 03 311 2 1 1  1    M= 03 2, D=, I1 0= 0, P=21 2, T2= 26, 0 04 2 1 0 14 00 11 1193 1 0 01   3 3 3 1   etL2 2= 2 6 1 1 1 1. 1 (a) Montrerque la matricePest inversible et calculerPculsgurerontsuralocip)e.(liate´dselacsedsl 1 (b) Onconstate que:M.T=I´dnEiudeuqer.eMest inversible et donner la matriceM. 2. 1 (a)Ve´rierqueP .M.P=D. n n1 (b) Pourtout entier natureln, donner l’expression deMen fonction deP,DetP. n (c) Pourtout entier natureln, exprimer les coefficients de la matriceD. (d)Ond´esigneparΔlamatricedontlescoecientssontleslimitesquandntendvers+des coefficients n n1 de la matriceD: limet l’on admet queM=PΔP. n+n De´terminerlamatriceΔetmontrerque:limM=L. n+Partie II Uneadministration,dontonsupposeleectifconstant,re´partitsesemploye´sduneanne´esurlautre,auhasard entre trois secteurs A, B et C, en respectant les proportions suivantes: 75%desemploy´esdusecteurAsnelreaduerestcyrestentlann´eeetnaviusuqsidnatntvo5%e2llaiavtrC, 75%desemploy´esdusecteurBsque25%vntetandilieldrnanottaravystresee´aviultnennaurteecesslA, 25%desemploye´sdusecteurClleravailesedansuq2ednsitnrt%5ovruetcntlesteyretatvinaeeusna´nA et 50% dans le secteurB. 1.Ond´esignepara,betcles effectifs respectifs dans les secteursA,BetCee´deeanni`erpremdelaucarsou fonctionnement.Aucoursdeladeuxie`meanne´e,leseectifsdanslessecteursA,BetCsont respectivement de 35,51.tseel´pmyeo03    a35    On pose:X=betB= 30. c15 (a)V´erierque:M.X=Bu,o`Mmaltirta´decineanedaslespartie I. (b)End´eduire,`alaidedelaquestion1.(b)delapartie I, les valeurs dea,betc. 2.Lapremi`ereann´ee,unemploye´Etravaille dans le secteurA. Pour tout entier naturel non nulno,dne´isnge par : ie`me AnceseruetdelllsnaEtravaienement:le´´vAlannnae´e, i`eme Bnruetceselsedanailltravt:Emene´vnele´Blan,e´enna ie`me Cnlurtevaialldenalssece´ev´enement:EtrClanee´,nna
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