Mathématiques 2000 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

Mathématiques 2000 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

Documents
5 pages
Lire
YouScribe est heureux de vous offrir cette publication

Description

Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

Informations

Publié par
Ajouté le 18 mars 2007
Nombre de lectures 112
Langue Français
Signaler un abus
ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION TECHNOLOGIQUE
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies.Lescandidatssontinvit´es`aencadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument; Lusagedetoutecalculatriceoudetoutmate´riele´lectroniqueestinterditpendantcette´epreuve.
Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e.
1
Exercice 1 3 2 2x Soitfaluotruotepnied´ontincfox´reeplra:f(x) = (xx)e. 4 Onde´signeparCeperesr´acsrboupudere`p.nalvetitaenreunnsda 1. (a)D´eterminerleslimitesdefen−∞et +. (b) Etudierles branches infinies deC. 2. 5 0 (a) Montrerque la fonctionfruselbavisreed´tRerd´ontincfosaueqteevie´fchange de signe enet 2 5 en . 2 (b) Donnerle tableau de variations def. 3. (a)Re´soudresurR´equation:lf(x) = 0. (b)D´eterminerlesignedef(xtlanvaes)ivsulee´ruelrudsx. 1 3 (c)D´eterminerune´equationdestangentes`aCaux points d’abscisses,0 et. 2 2 4. √ √ 5 15 (a)Tracerlestangentes`aCaux points d’abscisses,,snnuadreoeer`pnormrthounit´ede´t0e 2 22 2 cm. (b) TracerCre`p.eeˆmeeremsdlescaneneveltusysaseets´tetomp √ √5 55 1 3 On prendra:'1,1 ;f()'0,2 ;f( )' −5,8 ;2e'0,7 ;2e'40. 2 22 5. 3 R 2 2x (a)Calculerlint´egrale:I=e dx. 1 2 (b)Calculer,a`laidedinte´grationsparparties,lesdeuxint´egralessuivantes: 3 3 R R 2 2 2x2 2x J=xe dxetK=x edx. 1 1 − − 2 2 2 (c)De´terminer,encm,lairedelensembledespointsMs(een´onrdceoodx,yda)i`alasiohcere`perelsn 1 3 question 4. telles que6x6etf(x)6y60. 2 2 Hachurercetensemblesurlegraphiquepre´c´edent.
Exercice 2 Partie I +n Px 1.Rappeler,pourtoutr´eelx, la valeur de: . n! n=0 2. Soitae´rnO.lepusnesopelquomenebruNeusrk´deedenutnadneptnetnse´eprseuisqurieTemonuner`a´tee m´ecaniqueestunevariableal´eatoiredontlaloiestd´eniepar: n 5 pour tout entier natureln,P(N=n) =a. n! (a)De´terminerlavaleurdea.
2
(b)ReconnaıˆtrelaloideNe.tiqu´emaecnahtamsenore´pontdrsnee (c)Enutilisantlextraitdetablefournici-dessous,re´pondreauxquestionssuivantes: Pendantladure´eT,
quelleestlaprobabilite´quaumoinssixskieurssesoientpr´esente´sa`laremont´eem´ecanique? quelleestlaprobabilite´quauplusdeuxskieurssesoientpre´sente´sa`laremonte´eme´canique? sachantquaumoinssixskieurssesontpre´sente´sa`laremonte´em´ecanique,quelleestlaprobabilit´e qu’il y en ait eu au plus neuf? ExtraitdelatabledelaloidePoissondeparam`etre5,probabilite´sindividuellesp(nlue´ctmue)esF(n) deP(5) : n 01 2 3 4 5 6 7 8 910 p(n) 0,0067 0,0337 0,0842 0,1404 0,1755 0,1755 0,1462 0,1044 0,0653 0,0363 0,0181 F(n) 0,0067 0,0404 0,1247 0,2650 0,4405 0,6160 0,7622 0,8666 0,9319 0,9682 0,9863 Partie II Uueinlodeniiurmfolaeltae´eriotnoc´esigneunevariabdlealrvteinlures]1;0[. 1. (a)Donnerunedensit´edeU. (b)De´terminerlafonctionder´epartitionFtoirebleal´eavaleairadU. (c)Exprimer,enfonctiondure´elxal,ilabobpr:´eitP(U >x). 2.Lacompagniedesremont´eesme´caniquesainstalle´deuxguichetsaubasdespistes.Onestimequeletemps depassagedunskieur`alundesguichetssuitlamˆemeloiquelavariableal´eatoireU. Trois skieurs A, B etCsepre´sententenmeˆmetempsauxguichets.AetBsadressentsimultan´ementauxdeuxguichets,C attendqueAouBlib`ereunguichet. Ond´esignepar: U1etU2les temps de passage respectifs de chacun des deux skieurs A et B, Vle temps d’attente du skieur C. Onsupposeraquelesvariablesale´atoiresU1etU2es.ni´dostnadtnpene
(a) Justifierque :pour toutxrel´e(,xV >) = (U1> x)(U2> x) (b)End´eduire,pourtoutxre´le,P(V >x) en fonction deP(xU >). (c) Etablirque la variableVnroetec´uooifdrnteimopitaptdraonctnlafionG:rapeind´eG(x) = 0six <0 2 G(x) = 2xxsix[0,1] G(x) = 1six >1
(d)End´eduireunedensite´deprobabilit´egde la variableV. (e) MontrerqueVulera.enseemutdaarevunetceanerp´clacnoleuqecnai
3
Exercice 3 Partie I Onconsid`eredansM3(R) les 6 matrices suivantes:   1      0 0 3 1 11 0 01 03 311 2 1 1  1    M= 03 2, D=, I1 0= 0, P=21 2, T2= 26, 0 04 2 1 0 14 00 11 1193 1 0 01   3 3 3 1   etL2 2= 2 6 1 1 1 1. 1 (a) Montrerque la matricePest inversible et calculerPculsgurerontsuralocip)e.(liate´dselacsedsl 1 (b) Onconstate que:M.T=I´dnEiudeuqer.eMest inversible et donner la matriceM. 2. 1 (a)Ve´rierqueP .M.P=D. n n1 (b) Pourtout entier natureln, donner l’expression deMen fonction deP,DetP. n (c) Pourtout entier natureln, exprimer les coefficients de la matriceD. (d)Ond´esigneparΔlamatricedontlescoecientssontleslimitesquandntendvers+des coefficients n n1 de la matriceD: limet l’on admet queM=PΔP. n+n De´terminerlamatriceΔetmontrerque:limM=L. n+Partie II Uneadministration,dontonsupposeleectifconstant,re´partitsesemploye´sduneanne´esurlautre,auhasard entre trois secteurs A, B et C, en respectant les proportions suivantes: 75%desemploy´esdusecteurAsnelreaduerestcyrestentlann´eeetnaviusuqsidnatntvo5%e2llaiavtrC, 75%desemploy´esdusecteurBsque25%vntetandilieldrnanottaravystresee´aviultnennaurteecesslA, 25%desemploye´sdusecteurClleravailesedansuq2ednsitnrt%5ovruetcntlesteyretatvinaeeusna´nA et 50% dans le secteurB. 1.Ond´esignepara,betcles effectifs respectifs dans les secteursA,BetCee´deeanni`erpremdelaucarsou fonctionnement.Aucoursdeladeuxie`meanne´e,leseectifsdanslessecteursA,BetCsont respectivement de 35,51.tseel´pmyeo03    a35    On pose:X=betB= 30. c15 (a)V´erierque:M.X=Bu,o`Mmaltirta´decineanedaslespartie I. (b)End´eduire,`alaidedelaquestion1.(b)delapartie I, les valeurs dea,betc. 2.Lapremi`ereann´ee,unemploye´Etravaille dans le secteurA. Pour tout entier naturel non nulno,dne´isnge par : ie`me AnceseruetdelllsnaEtravaienement:le´´vAlannnae´e, i`eme Bnruetceselsedanailltravt:Emene´vnele´Blan,e´enna ie`me Cnlurtevaialldenalssece´ev´enement:EtrClanee´,nna
4