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Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (ECE) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.
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Programme ESC dE.M.LYON
CONCOURS DENTREE 2001
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option économique)
Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Exercice 1 On considère la matrice carrée réelle dordre quatre : 0 1 1 0 01 1 0 01 BC A= @ A 0 1 01 0 0 11 4 4 et lendomorphismefdeRdont la matrice dans la base canoniqueB= (e1; e2; e3; e4)deRestA. 1.Montrer queAnest pas inversible.En déduire que0est valeur propre deA. 2 3 4 2.(a) CalculerA,A,A. (b) Etablirque0est la seule valeur propre def. (c) Déterminerla dimension du noyau def. (d) Est-cequefest diagonalisable ? 3.On note"1=e1,"2=f("1); "3=f("2); "4=f("3), etC= ("1; "2; "3; "4). 4 (a) MontrerqueCest une base deR. 4 (b) Déterminerla matriceNdefrelativement à la baseCdeR. 41 2 4.Existe-t-il un automorphismegde lespace vectorielRtel quegfg=f?
Exercice 2 On considère lapplicationf: [0;+1[!R, dénie, pour toutxde[0; +1[, par : ( x six >0 x f(x) =e1 1six= 0 1. (a)Montrer quefest continue sur[0; +1[.
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10 (b) Montrerquefest de classeCsur]0; +1[tout. Pourx2]0;+1[, calculerf(x). 1 0 (c) Montrerquef(x)tend verslorsquextend vers0. 2 1 (d) Endéduire quefestCsur[0; +1[. x e 200x 2. (a)Montrer quefest de classeCsur]0; +1[et que:8x2]0; +1[f(x() =xex3 (e1) x 2e+x+ 2) (b) Etudierles variations de la fonctiong+: [0;1[!R, dénie, pour toutxde[0; +1[, par: x x g(x) =xe2e+x+ 2 00 En déduire :8x2]0; +1[; f(x)>0. (c) Endéduire le sens de variation defprécisera la limite de. Onfen+1. Dresserle tableau de variation def. (d) Tracerlallure de la courbe représentative def. 3.On considère la suite(un)n>0dénie paru0= 0et :8n2N; un+1=f(un). (a) Montrer: 1 0 8x2[0; +1[;jf(x)j6et06f(x)61 2 (b) Résoudreléquationf(x) =x, dinconnuex2]0; +1[. (c) Montrer: 1 8n2Njun+1ln 2j6junln 2j 2 (d) Etablirque la suite(un)n>0converge et déterminer sa limite.
Exercice 3 1.Pour tout entier natureln, on considère la fonctionfn:R!Rdénie par : 8 t n <e t sit >0 8t2R; fn(t) = n! : 0sit60
2 (a) Soitn2Nque. Montrerlimt fn(t) = 0. t!+1 +1 R En déduire que lintégralefn(t)dtest convergente. 0 xx nx R R e x (b) Montrer:8n2N;8x2[0; +1[; fn(t)dt=+fn1(t)dt. n! 0 0 x R (c) Endéduire :8n2N; fn(t)dt= 1 0 (d) Montrer que, pour tout entier natureln, la fonctionfnest la densité de probabilité dune variable aléatoire.
1. Pourtout entier natureln, on dénit la variable aléatoireXnadmettantfnpour densité de proba-bilité.
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(a) Montrerque, pour tout entier natureln, lespéranceE(Xn)et la varianceV(Xn)vérient: E(Xn) =n+ 1V(Xn) =n+ 1 2 (b) Danscette question, on suppose quen= 4. Ondonne les valeurs approchées à10suivantes:
4 Z f4(t)dt'0;37 0
6 Z f4(t)dt'0;71 0
8 Z f4(t)dt'0;90 0
Tracer lallure de la courbe représentative de la fonction de répartition deX4. Déterminer une valeur décimale approchée de la probabilitéP(X4>4)et une valeur décimale approchée de la probabilitéP(4< X468).
3.Pour tout réelt >0, on dénit la variable aléatoireYtégale au nombre de voitures arrivant à un péage dautoroute de linstant0à linstantt. On suppose que la variable aléatoireYtsuit une loi de Poisson de paramètret.
(a) Rappeler,pour tout réelt >0, les valeurs de lespérance et de la variance deYt. Pour tout entier naturelnnon nul, on dénit la variable aléatoire réelleZn, prenant ses valeurs +ieme dansR, égale à linstant darrivée de lanvoiture au péage à partir de linstant0. (b) Soientt2]0; +1[etn2N. Justier légalité de lévénement(Zn6t)et de lévénement(Yt>n) (c) Endéduire, pour tout entier naturelnnon nul, la fonction de répartition de la variable aléatoire réelleZn. (d) Montrerque, pour tout entier naturelnnon nul, la variable aléatoireZnadmetfn1comme densité de probabilité.
- FIN -
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