Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (ECE) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2001

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 316
• Langue: Français

Extrait

Programme ESC dE.M.LYON

CONCOURS DENTREE 2001

MATHEMATIQUES

1ère épreuve (option économique)

Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Exercice 1 On considère la matrice carrée réelle dordre quatre : 0 1 1 0 01 1 0 01 BC A= @ A 0 1 01 0 0 11 4 4 et lendomorphismefdeRdont la matrice dans la base canoniqueB= (e 1 ; e 2 ; e 3 ; e 4 )deRestA. 1.Montrer queAnest pas inversible.En déduire que0est valeur propre deA. 2 3 4 2.(a) CalculerA,A,A. (b) Etablirque0est la seule valeur propre def. (c) Déterminerla dimension du noyau def. (d) Est-cequefest diagonalisable ? 3.On note" 1 =e 1 ," 2 =f(" 1 ); " 3 =f(" 2 ); " 4 =f(" 3 ), etC= (" 1 ; " 2 ; " 3 ; " 4 ). 4 (a) MontrerqueCest une base deR. 4 (b) Déterminerla matriceNdefrelativement à la baseCdeR. 41 2 4.Existe-t-il un automorphismegde lespace vectorielRtel quegfg=f?

Exercice 2 On considère lapplicationf: [0;+1[!R, dénie, pour toutxde[0; +1[, par : ( x six >0 x f(x) =e1 1six= 0 1. (a)Montrer quefest continue sur[0; +1[.

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10 (b) Montrerquefest de classeCsur]0; +1[tout. Pourx2]0;+1[, calculerf(x). 1 0 (c) Montrerquef(x)tend verslorsquextend vers0. 2 1 (d) Endéduire quefestCsur[0; +1[. x e 200x 2. (a)Montrer quefest de classeCsur]0; +1[et que:8x2]0; +1[f(x() =xe x3 (e1) x 2e+x+ 2) (b) Etudierles variations de la fonctiong+: [0;1[!R, dénie, pour toutxde[0; +1[, par: x x g(x) =xe2e+x+ 2 00 En déduire :8x2]0; +1[; f(x)>0. (c) Endéduire le sens de variation defprécisera la limite de. Onfen+1. Dresserle tableau de variation def. (d) Tracerlallure de la courbe représentative def. 3.On considère la suite(u n ) n>0 dénie paru 0 = 0et :8n2N; u n+1 =f(u n ). (a) Montrer: 1 0 8x2[0; +1[;jf(x)j6et06f(x)61 2 (b) Résoudreléquationf(x) =x, dinconnuex2]0; +1[. (c) Montrer: 1 8n2Nju n+1 ln 2j6ju n ln 2j 2 (d) Etablirque la suite(u n ) n>0 converge et déterminer sa limite.

Exercice 3 1.Pour tout entier natureln, on considère la fonctionf n :R!Rdénie par : 8 t n <e t sit >0 8t2R; f n (t) = n! : 0sit60

2 (a) Soitn2Nque. Montrerlimt f n (t) = 0. t!+1 +1 R En déduire que lintégralef n (t)dtest convergente. 0 x x n x R R e x  (b) Montrer:8n2N;8x2[0; +1[; f n (t)dt=+f n1 (t)dt. n! 0 0 x R (c) Endéduire :8n2N; f n (t)dt= 1 0 (d) Montrer que, pour tout entier natureln, la fonctionf n est la densité de probabilité dune variable aléatoire.

1. Pourtout entier natureln, on dénit la variable aléatoireX n admettantf n pour densité de proba- bilité.

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(a) Montrerque, pour tout entier natureln, lespéranceE(X n )et la varianceV(X n )vérient: E(X n ) =n+ 1V(X n ) =n+ 1 2 (b) Danscette question, on suppose quen= 4. Ondonne les valeurs approchées à10suivantes:

4 Z f 4 (t)dt'0;37 0

6 Z f 4 (t)dt'0;71 0

8 Z f 4 (t)dt'0;90 0

Tracer lallure de la courbe représentative de la fonction de répartition deX 4 . Déterminer une valeur décimale approchée de la probabilitéP(X 4 >4)et une valeur décimale approchée de la probabilitéP(4< X 4 68).

3.Pour tout réelt >0, on dénit la variable aléatoireY t égale au nombre de voitures arrivant à un péage dautoroute de linstant0à linstantt. On suppose que la variable aléatoireY t suit une loi de Poisson de paramètret.

(a) Rappeler,pour tout réelt >0, les valeurs de lespérance et de la variance deY t . Pour tout entier naturelnnon nul, on dénit la variable aléatoire réelleZ n , prenant ses valeurs +ieme dansR, égale à linstant darrivée de lanvoiture au péage à partir de linstant0.  (b) Soientt2]0; +1[etn2N. Justier légalité de lévénement(Z n 6t)et de lévénement(Y t >n) (c) Endéduire, pour tout entier naturelnnon nul, la fonction de répartition de la variable aléatoire réelleZ n . (d) Montrerque, pour tout entier naturelnnon nul, la variable aléatoireZ n admetf n1 comme densité de probabilité.

- FIN -

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